Probleme grele de Arii și volume

Clasa a 10-a • 2 probleme de nivel greu

Ușor (20)Mediu (104)Toate
Greu#1Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?

Rezolvare completă

3 puncte · 1 pas
13 puncte
Denumim în baza isoscelă latura egală ℓ\ell și baza a=2ℓcos⁡αa=2\ell\cos\alpha. Aria bazei este Sb=12a(ℓsin⁡α)=ℓ2sin⁡αcos⁡αS_b=\dfrac{1}{2}a(\ell\sin\alpha)=\ell^2\sin\alpha\cos\alpha. Perimetrul bazei este p=2ℓ+a=2ℓ(1+cos⁡α)p=2\ell+a=2\ell(1+\cos\alpha). Înălțimea piramidei notăm HH; volumul este V=13SbHV=\dfrac{1}{3}S_bH.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Rezolvați: Aria laterală a unui con este S. Pentru ce rază a bazei sfera înscrisă în acel con are volumul cel mai mare?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Introducerea notației: raza bazei RR, înălțimea hh, tălpile l=R2+h2l=\sqrt{R^2+h^2} și aria laterală S=πRlS=\pi R l. Relația pentru raza sferei înscrise (prin triunghiuri asemenea): ρ=hRR+l\rho=\dfrac{hR}{R+l}. Exprimarea lui hh și ll în funcție de RR sau alegerea unei parametrizări adecvate (de exemplu x=R/lx=R/l).
24 puncte
Reductia problemei la o funcție de o singură variabilă: cu x=R/lx=R/l se obține ρ=lx1−x21+x\rho=l\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}, iar volumul sferei V∝l3(x1−x21+x)3V\propto l^3\left(\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right)^3. Folosind S=πRl=πxl2S=\pi R l=\pi x l^2 se exprimă factorul în funcție doar de xx și se maximizează prin derivare: se obține ecuația pentru extremum care conduce la x=2−1x=\sqrt{2}-1.
33 puncte
Concluzie și exprimarea razei optime: din S=πRlS=\pi R l și x=R/lx=R/l rezultă R2=SxπR^2=\dfrac{Sx}{\pi}, deci raza care maximizează volumul sferic este R=S(2−1)πR=\sqrt{\dfrac{S(\sqrt{2}-1)}{\pi}}. Justificarea naturii extremei (maxim) prin semnul derivatelor sau analiza comportamentului la limite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Accesează toate cele 2 probleme de Arii și volume cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.