Probleme de nivel mediu de Arii și volume

Clasa a 10-a • 104 probleme de nivel mediu

Ușor (20)Greu (2)Toate
Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Modelarea geometrică: dacă înălţimea este hh, fiecare muchie laterală reduce lăţimea cu hh (panta 45∘45^\circ), deci baza superioară este 5−2h5-2h. Aria secţiunii A(h)=5+(5−2h)2h=5h−h2A(h)=\frac{5+(5-2h)}{2}h=5h-h^2 şi volumul V(h)=100A(h)=500h−100h2V(h)=100A(h)=500h-100h^2.
24 puncte
Impunerea condiţiilor volumului: rezolvaţi inegalităţile 400≤500h−100h2≤500400\le 500h-100h^2\le 500 şi impuneţi condiţia geometrică 5−2h≥25-2h\ge 2 (adică h≤32h\le\tfrac{3}{2}). Din prima inegalitate se obţine h∈[1,4]h\in[1,4], din a doua (pentru partea superioară) rezultă h≤5−52h\le\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}; combinând cu condiţia geometrică se restrânge soluţia.
33 puncte
Concluzie: intervalul de valori admisibile pentru înălţime este h∈[1, 5−52]h\in\bigl[1,\,\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}\bigr].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează raza rr, înălțimea hh și se scrie condiția generatoarei a2=r2+h2a^2=r^2+h^2 și volumul V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2 h.
22 puncte
Se exprimă h=a2−r2h=\sqrt{a^2-r^2} și se obține V(r)=13πr2a2−r2V(r)=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{a^2-r^2}.
33 puncte
Se derivă V′(r)V'(r), se obține condiția critică r=a3r=\frac{a}{\sqrt{3}} (se verifică că este maximum).
43 puncte
Se calculează h=a23h=a\sqrt{\frac{2}{3}} și volumul maxim Vmax⁡=πa3923V_{\max}=\frac{\pi a^3}{9}\sqrt{\frac{2}{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează raza cercului inițial RR (care devine generatoarea conului) și raza bazei rr, legătura perimetrului bazei cu arcul: 2πr=(2π−α)R2\pi r=(2\pi-\alpha)R.
22 puncte
Din relație obținem r=R(1−α2π)r=R\left(1-\frac{\alpha}{2\pi}\right). Se notează k=1−α2πk=1-\frac{\alpha}{2\pi}, astfel r=kRr=kR, h=R1−k2h=R\sqrt{1-k^2}.
33 puncte
Se scrie V(k)=13πR3k21−k2V(k)=\frac{1}{3}\pi R^3 k^2\sqrt{1-k^2} şi se determină maximul: condiţia critică k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}}.
43 puncte
Se află α=2π(1−k)=2π(1−13)\alpha=2\pi(1-k)=2\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) şi volumul maxim Vmax⁡=πR3923V_{\max}=\frac{\pi R^3}{9}\sqrt{\frac{2}{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Un con este circumscris în jurul unei sfere de rază RR. Unghiul vârfului în secțiunea axială a conului este 2α2\alpha. Determinați aria secțiunii axiale a conului. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria conului este minimă?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Reprezentați secțiunea axială ca un triunghi isoscel cu înălțimea HH și unghi în vârf 2α2\alpha. Relacionați raza cercului înscris (sfera în secțiune) RR cu HH și α\alpha: R=Hsin⁡α1+sin⁡αR=H\dfrac{\sin\alpha}{1+\sin\alpha}, obținut prin formula razei înscrise r=ariasr=\dfrac{\text{aria}}{s} sau calcul direct în triunghi.
23 puncte
Calculați baza triunghiului și aria secțiunii axiale AA: baza =2Htan⁡α=2H\tan\alpha, aria A=H2tan⁡αA=H^2\tan\alpha. Folosind relația pentru HH în funcție de RR și α\alpha se obține A(α)=R2(1+sin⁡α)2sin⁡αcos⁡αA(\alpha)=R^2\dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha}.
33 puncte
Determinați extremul funcției A(α)A(\alpha) pe intervalul relevant 0<α<π20<\alpha<\tfrac{\pi}{2} prin derivare. Calculul derivatelor reduce ecuația la 2sin⁡α−1=02\sin\alpha-1=0, deci sin⁡α=12\sin\alpha=\tfrac{1}{2}.
41 punct
Concluzionați că valoarea pentru care aria este minimă este α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} (verificați natura extremului, p.ex. semnul derivei sau derivata a doua).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
O piramidă patrulateră regulată de volum VV este circumscrisă în jurul unei emisfere astfel încât centrul bazei piramidei coincide cu centrul sferei. Unghiul dintre o față laterală a piramidei și planul bazei este α\alpha. Determinați volumul emisferei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul emisferei este maxim?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați jumătatea laturii bazei cu bb și înălțimea piramidei cu hh. Din definiția unghiului dintre fața laterală și baza piramidei rezultă tan⁡α=hb\tan\alpha=\dfrac{h}{b}. Volumul piramidei este V=13(2b)2h=43b2hV=\tfrac{1}{3}(2b)^2h=\tfrac{4}{3}b^2h, deci b3=3V4tan⁡αb^3=\dfrac{3V}{4\tan\alpha}.
23 puncte
Determinați raza emisferei RR. Din secțiunea perpendiculară pe o latură, distanța de la centrul bazei la planul unei fețe laterale este RR, iar calculele conduc la R=bsin⁡αR=b\sin\alpha.
32 puncte
Volumul emisferei este U=23πR3=23π(bsin⁡α)3U=\tfrac{2}{3}\pi R^3=\tfrac{2}{3}\pi (b\sin\alpha)^3. Înlocuind b3b^3 găsit la pasul 1 se obține U(α)=πV2sin⁡2αcos⁡αU(\alpha)=\dfrac{\pi V}{2}\sin^2\alpha\cos\alpha.
42 puncte
Maximizați U(α)U(\alpha) pe 0<α<π20<\alpha<\tfrac{\pi}{2}: derivați pentru a obține condiția de extrem sin⁡α(2−3sin⁡2α)=0\sin\alpha(2-3\sin^2\alpha)=0, rezultând sin⁡2α=23\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}. Concluzionați că volumul emisferei este maxim pentru α=arcsin⁡23\alpha=\arcsin\sqrt{\dfrac{2}{3}} (verificare a maximei prin derivata a doua sau semnul lui U′U').

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Rezolvați: Având un rezervor deschis cu bază pătrată și volum V=32 m3V = 32\ \mathrm{m}^3, care trebuie să fie dimensiunile bazei și înălțimea pentru ca materialul necesar la căptușirea pereților și a bazei (suprafața totală a părților expuse) să fie minimă?
Mediu#7Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieDerivate
Rezolvați: Baza unei piramide este un triunghi isoscel a cărui arie este S iar unghiul vârfului acut este α. Volumul piramidei este dat când unghiul dintre fiecare muchie laterală și înălțimea piramidei este β. Găsiți volumul în funcție de S, α, β și determinați pentru ce valoare a lui α volumul este minim.
Mediu#8Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Rezolvați: Într-o piramidă regulată hexagonală o muchie laterală are lungimea 1 cm. Pentru ce lungime a laturii bazei se obține volumul maxim al piramidei?
Mediu#9Arii și volumeAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Rezolvați: Trebuie construit o pâlnie (canal) din trei scânduri de aceeași lățime. Pentru ce unghi de înclinare al laturilor laterale aria secțiunii transversale a pâlniei este maximă?
Mediu#10Arii și volumeDerivateAplicații ale derivatelor
Găsiți: Determinați cilindrul care are volumul cel mai mare pentru o suprafață totală dată S a cilindrului.
Mediu#11Arii și volumeAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Rezolvați: Volumul unui prizma triunghiular drept este V, iar baza prismului este un triunghi echilateral. Care trebuie să fie lungimea laturii bazei pentru ca suprafața totală a prismului să fie minimă?
Mediu#12Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieDerivate
Rezolvați: O muchie laterală a unei piramide regulate dreptunghiulare are lungimea a. Această muchie formează un unghi α cu planul bazei. Pentru ce valoare a lui α volumul piramidei este maxim?
Mediu#13Arii și volumeDerivateMonotonie și convexitate
Rezolvați: Dintre toate prismele triunghiulare regulate cu volum V, determinați prisma care are suma lungimilor muchiilor minimă. Care este lungimea unei laturi a bazei acelei prisme?
Mediu#14Arii și volumeDerivateStudiul funcțiilor
Rezolvați: Dintre toate paralelipipedele dreptunghiulare cu baza pătrată înscrise într-o sferă dată, determinați pe cel care are aria laterală maximă.
Mediu#15Arii și volumeGeometrie Analitică
Rezolvați: Bazele unei prisme regulate sunt pătrate. Una dintre bazele prismei aparține circumferinței mari a unei sfere de rază RR, iar vârfurile celeilalte baze se află pe suprafața aceleiași sfere. Care trebuie să fie lungimea înălțimii prismei pentru ca suma lungimilor tuturor muchiilor să fie maximă?

Și alte 89 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Accesează toate cele 104 probleme de Arii și volume cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.