Probleme ușoare de Arii și volume

Clasa a 10-a • 20 probleme de nivel ușor

Mediu (104)Greu (2)Toate
Ușor#1Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=2x−x2y = 2x - x^2 și y=0y = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați punctele de intersecție rezolvând 2x−x2=02x-x^2=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Scrieți aria ca integrală: A=∫02(2x−x2) dxA=\int_0^2(2x-x^2)\,dx și calculați primitiva: X(x)=x2−x33X(x)=x^2-\dfrac{x^3}{3}.
34 puncte
Evaluați integrală: A=X(2)−X(0)=4−83=43A=X(2)-X(0)=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}. Concluzie: aria este 43\dfrac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=3x+18−x2y = 3x + 18 - x^2 și y=0y = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați intersecțiile cu axa Ox rezolvând 3x+18−x2=03x + 18 - x^2 = 0. Se obține x2−3x−18=0x^2 - 3x - 18 = 0, Delta=81\\Delta = 81, deci x=6x = 6 și x=−3x = -3.
23 puncte
Scrieți aria ca integrală a funcției deasupra axei Ox: A=∫−36(3x+18−x2) dxA = \displaystyle\int_{-3}^{6} (3x + 18 - x^2)\,dx.
34 puncte
Calculați primitiva și evaluați: F(x)=−x33+3x22+18xF(x) = -\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 18x, deci A=F(6)−F(−3)=90−(−632)=2432A = F(6)-F(-3) = 90 - (-\dfrac{63}{2}) = \dfrac{243}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Arii și volumeIntegrale definiteFuncția de gradul al II-lea
Găsiți aria figurii închise delimitate de curba y=4x−x2y = 4x - x^2 și axa Ox.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați intersecțiile cu axa Ox rezolvând 4x−x2=04x - x^2 = 0. Factorizați: x(4−x)=0x(4-x)=0, deci x=0x=0 și x=4x=4.
23 puncte
Scrieți aria ca integrală: A=∫04(4x−x2) dxA = \displaystyle\int_{0}^{4} (4x - x^2)\,dx.
34 puncte
Calculați primitiva F(x)=2x2−x33F(x)=2x^2 - \dfrac{x^3}{3} și evaluați: A=F(4)−F(0)=32−643=323A = F(4)-F(0) = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Arii și volumeIntegrale definite
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=1+x2y = 1 + x^2 și y=2y = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinați punctele de intersecție rezolvând 1+x2=21 + x^2 = 2, obținând x=±1x=\pm 1.
23 puncte
Stabiliți aria ca integrală: A=∫−11(2−(1+x2))dx=∫−11(1−x2)dxA = \int_{-1}^{1} (2 - (1 + x^2)) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx.
35 puncte
Calculați integrala: [x−x3/3]−11=(1−1/3)−(−1+1/3)=4/3[x - x^3/3]_{-1}^{1} = (1-1/3)-(-1+1/3) = 4/3. Concluzie: aria este 4/34/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Arii și volumeIntegrale definite
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=0,y=2x2+1,x=−1y = 0, y = 2x^2 + 1, x = -1 și x=1x = 1. Desenați o schiță.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Desenați o schiță și observați că pentru x∈[−1,1]x\in[-1,1] curba y=2x2+1y=2x^2+1 este deasupra axei y=0y=0.
23 puncte
Stabiliți limitele: x=−1x=-1 și x=1x=1; scrieți aria ca integrală: A=∫−11(2x2+1)dxA = \int_{-1}^{1} (2x^2+1) dx.
35 puncte
Calculați integrala: ∫−11(2x2+1)dx=[2x3/3+x]−11=(2/3+1)−(−2/3−1)=10/3\int_{-1}^{1} (2x^2+1) dx = [2x^3/3 + x]_{-1}^{1} = (2/3+1)-(-2/3-1) = 10/3. Concluzie: aria este 10/310/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=x2y = x^2 și y=x+2y = x + 2.
Ușor#7Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=x2−xy = x^2 - x și y=3xy = 3x.
Ușor#8Arii și volumeIntegrale definite
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=13x2−2x+4y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 4 și y=10−xy = 10 - x. Desenați o schiță.
Ușor#9Arii și volumeIntegrale definite
Găsiți aria figurii închise delimitate de curbele y=xy = x și y=2x−x2y = 2x - x^2.
Ușor#10Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Găsiți aria figurii închise delimitate de curba y=7x−2x2y = 7x - 2x^2 și linia x+y=7/2x + y = 7/2.
Ușor#11Arii și volumeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un con circular drept are generatoarea egală cu dublul razei bazei. Aria laterală a conului este de 36π36\pi cm². Calculați volumul conului și aria totală a acestuia.
Ușor#12Arii și volumeIntegrale definitePrimitive
Să se calculeze aria regiunii plane mărginită de graficul funcției f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, axa OxOx și dreptele x=−1x = -1 și x=1x = 1. Apoi, să se determine volumul corpului obținut prin rotația acestei regiuni în jurul axei OxOx.
Ușor#13Arii și volumeGeometrie AnaliticăVectori
Se consideră punctele A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0), C(0,0,3)C(0,0,3) în spațiul tridimensional. Să se calculeze aria triunghiului ABCABC și volumul tetraedrului cu vârfurile O(0,0,0)O(0,0,0), AA, BB, CC.
Ușor#14Arii și volumeGeometrie AnaliticăVectori
În spațiu, se consideră punctele A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,2,0)B(0,2,0), C(0,0,3)C(0,0,3). Calculați aria triunghiului ABCABC și volumul tetraedrului cu vârfurile O(0,0,0)O(0,0,0), AA, BB, CC.
Ușor#15Arii și volumeTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul dreptunghic ABCABC cu ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, se cunosc AB=5AB = 5 cm și sin⁡C=35\sin C = \frac{3}{5}. Calculați aria triunghiului ABCABC și volumul conului circular drept generat prin rotația triunghiului în jurul catetei ABAB.

Și alte 5 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Accesează toate cele 20 probleme de Arii și volume cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.