Probleme grele de Combinatorică

Clasa a 10-a • 2 probleme de nivel greu

Ușor (79)Mediu (90)Toate
Greu#1CombinatoricăProbabilități
Se consideră dezvoltarea lui (1+x+x2)n(1 + x + x^2)^n. Determinați valoarea minimă a lui nn pentru care cel mai mare coeficient al unei puteri a lui xx depășește 10510^5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Suma tuturor coeficienților este 3n3^n. După principiul central-limită, coeficientul maxim este aproximativ 3nn\dfrac{3^n}{\sqrt{n}}.\n
24 puncte
Impunem 3nn>105\dfrac{3^n}{\sqrt{n}} > 10^5. Testând creșterea lui 3n3^n: pentru n=10n = 10, 310=59049<1053^{10} = 59049 < 10^5; pentru n=11n = 11, 177147177147; pentru n=12n = 12, 531441531441.\n
33 puncte
Pentru n=12n = 12, 53144112>1.5⋅105>105\dfrac{531441}{\sqrt{12}} > 1.5 \cdot 10^5 > 10^5. Concluzie: nmin⁡=12n_{\min} = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În câte moduri se pot distribui nn bile DISTINCTE în 4 cutii numerotate astfel încât fiecare cutie să conțină un număr par de bile?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fiecare bilă poate fi pusă într-una din 4 cutii; fără condiții sunt 4n4^n distribuiri. Condiția de paritate se tratează prin transformata Walsh–Hadamard.\n
24 puncte
Formula generală pentru impunerea parităților: [ N = \frac{1}{16} \sum_{\varepsilon_i \in {\pm 1}} (\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 + \varepsilon_4)^n. ] Evaluând, obținem contribuții pentru sume 4, 2, 0, -2, -4.\n
33 puncte
Rezultatul final: N=18(4n+3⋅2n)N = \dfrac{1}{8}\left(4^n + 3 \cdot 2^n\right) pentru n≥1n \ge 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Accesează toate cele 2 probleme de Combinatorică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.