Probleme de nivel mediu de Combinatorică

Clasa a 10-a • 90 probleme de nivel mediu

Ușor (79)Greu (2)Toate
Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți combinațiile sub formă factorială: C2xx+1=(2x)!(x+1)!(x−1)!C_{2x}^{x+1} = \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!} și C2x+1x−1=(2x+1)!(x−1)!(x+2)!C_{2x+1}^{x-1} = \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}.
23 puncte
Simplificați raportul și obțineți o ecuație rațională în xx.
33 puncte
Rezolvați ecuația rezultată și găsiți x=2.x = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Combinatorică
Rezolvați ecuația Cx−4x+1=715A3x+1C_{x-4}^{x+1} = \frac{7}{15} A_{3}^{x+1}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că Cx−4x+1=0C_{x-4}^{x+1} = 0 pentru orice xx, deoarece ordinul este mai mare decât numărul total.
23 puncte
Atunci ecuația devine 0=715A3x+10 = \frac{7}{15}A_{3}^{x+1}, deci A3x+1=0A_{3}^{x+1}=0.
34 puncte
A3x+1=0A_{3}^{x+1}=0 doar când x+1<3x+1 < 3, deci x=0x = 0 sau x=1.x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3CombinatoricăPolinoame
Rezolvați ecuația C2x+1⋅A2x−4x3=(A2x)2C_{2}^{x+1} \cdot A_{2}^{x} - 4x^{3} = (A_{2}^{x})^{2}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți C2x+1=x(x+1)2C_{2}^{x+1} = \frac{x(x+1)}{2} și A2x=x(x−1)A_{2}^{x} = x(x-1).
24 puncte
Rescrieți ecuația: x(x+1)2⋅x(x−1)−4x3=x2(x−1)2\frac{x(x+1)}{2} \cdot x(x-1) - 4x^{3} = x^{2}(x-1)^{2}.
33 puncte
Simplificați și rezolvați ecuația polinomială, obținând x=3.x = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Combinatorică
Rezolvați proporția Cm+1n+1Cmn+1:Cmn+1Cm−1n+1=5:5:3\frac{C_{m+1}^{n+1}}{C_{m}^{n+1}} : \frac{C_{m}^{n+1}}{C_{m-1}^{n+1}} = 5 : 5 : 3, unde m,n∈N.m,n \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți raportul dintre combinații în formă simplificată: Cm+1n+1Cmn+1=m+1m−n\frac{C_{m+1}^{n+1}}{C_{m}^{n+1}} = \frac{m+1}{m-n} și Cmn+1Cm−1n+1=mm−n−1\frac{C_{m}^{n+1}}{C_{m-1}^{n+1}} = \frac{m}{m-n-1}.
24 puncte
Egalați raportul triplu: m+1m−n=5\frac{m+1}{m-n} = 5 și mm−n−1=5\frac{m}{m-n-1} = 5, iar al treilea raport =3= 3.
33 puncte
Rezolvați sistemul și obțineți soluția m=6m = 6, n=1.n = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Simplificați expresia C0n+2C1n+3C2n+⋯+(n+1)CnnC_{0}^{n} + 2C_{1}^{n} + 3C_{2}^{n} + \dots + (n+1)C_{n}^{n}, unde n∈Nn \in \mathbb{N}, eliminând termenii CknC_{k}^{n} pentru k=0,1,…,n.k = 0, 1, \ldots, n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notați S=C0n+2C1n+3C2n+⋯+(n+1)Cnn=∑k=0n(k+1)CnkS = C_{0}^{n} + 2C_{1}^{n} + 3C_{2}^{n} + \dots + (n+1)C_{n}^{n} = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{n}^{k}. Scrieți S=∑k=0nkCnk+∑k=0nCnkS = \sum_{k=0}^{n} k C_{n}^{k} + \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}.\n
23 puncte
Folosiți formula binomială (1+x)n=∑k=0nCnkxk(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}. Derivați: n(1+x)n−1=∑k=1nkCnkxk−1n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_{n}^{k} x^{k-1}. Pentru x=1x = 1 obțineți n2n−1=∑k=1nkCnkn2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_{n}^{k}. De asemenea, pentru x=1x = 1 în formula binomială, ∑k=0nCnk=2n\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}.\n
33 puncte
Înlocuiți în expresia lui SS: S=n2n−1+2n=2n−1(n+2)S = n2^{n-1} + 2^{n} = 2^{n-1}(n+2). Rezultatul final este S=2n−1(n+2)S = 2^{n-1}(n+2), fără termeni de forma CknC_{k}^{n}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația C3x+C4x=11⋅C2x+1C_{3}^{x} + C_{4}^{x} = 11 \cdot C_{2}^{x+1}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Mediu#7CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea Cm13<Cm+213C_{m}^{13} < C_{m+2}^{13}, unde m∈N.m \in \mathbb{N}.
Mediu#8CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea Cm−218>Cm18C_{m-2}^{18} > C_{m}^{18}, unde m∈N.m \in \mathbb{N}.
Mediu#9CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea C6n<C4nC_{6}^{n} < C_{4}^{n}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.
Mediu#10CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea 5C3n<C4n+25C_{3}^{n} < C_{4}^{n+2}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.
Mediu#11Combinatorică
Rezolvați inegalitatea C4x−1C3x−1−54A2x−2<0\dfrac{C_{4}^{x-1}}{C_{3}^{x-1}} - \dfrac{5}{4}A_{2}^{x-2} < 0, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Mediu#12CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea 2C5n>11C3n−22C_{5}^{n} > 11C_{3}^{n-2}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.
Mediu#13CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea Cn−2n+1−Cn−1n+1≤100C_{n-2}^{n+1} - C_{n-1}^{n+1} \leq 100, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.
Mediu#14CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea A4n+1Cn−3n−1>14P3\dfrac{A_{4}^{n+1}}{C_{n-3}^{n-1}} > 14P_{3}, unde n∈N.n \in \mathbb{N}.
Mediu#15CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Câți termeni negativi are șirul (xn)(x_n), unde xn=C4n+5−14396⋅Pn+5Pn+3, n∈Nx_n = C_{4}^{n+5} - \dfrac{143}{96} \cdot \dfrac{P_{n+5}}{P_{n+3}},\ n \in \mathbb{N}?

Și alte 75 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Accesează toate cele 90 probleme de Combinatorică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.