Probleme grele de Ecuații iraționale

Clasa a 10-a • 6 probleme de nivel greu

Ușor (40)Mediu (114)Toate
Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) Condiții: x+a≥0x + a \geq 0 și x−a≥0x - a \geq 0, deci x≥ax \geq a
22 puncte
b) Se ridică la pătrat: (x+a−x−a)2=1(\sqrt{x+a} - \sqrt{x-a})^2 = 1, adică x+a+x−a−2x2−a2=1x+a + x-a - 2\sqrt{x^2 - a^2} = 1, deci 2x−1=2x2−a22x - 1 = 2\sqrt{x^2 - a^2}
32 puncte
Se ridică din nou la pătrat: (2x−1)2=4(x2−a2)(2x-1)^2 = 4(x^2 - a^2), adică 4x2−4x+1=4x2−4a24x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - 4a^2, deci 4x=1+4a24x = 1 + 4a^2, x=a2+14x = a^2 + \frac{1}{4}
42 puncte
c) Condiția x≥ax \geq a devine a2+14≥aa^2 + \frac{1}{4} \geq a, adică a2−a+14≥0a^2 - a + \frac{1}{4} \geq 0, (a−12)2≥0(a-\frac{1}{2})^2 \geq 0, adevărat pentru orice a>0a > 0, deci ecuația are soluție pentru toți a>0a > 0
52 puncte
d) Pentru a=2a=2, x=4+14=174x = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}, deci x2=28916x^2 = \frac{289}{16}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2−4x+a≥0x^2 - 4x + a \geq 0 și x−2≥0x - 2 \geq 0, deci x≥2x \geq 2. Discriminantul trinomului: Δ=16−4a\Delta = 16 - 4a.
23 puncte
Ridicarea la pătrat: x2−4x+a=(x−2)2=x2−4x+4x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4, deci a=4a = 4. Verificare: pentru a=4a = 4, x≥2x \geq 2 și x2−4x+4=(x−2)2≥0x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0, deci x≥2x \geq 2 este soluție.
33 puncte
Pentru a≠4a \neq 4, ecuația nu are soluții. Pentru a=4a = 4, orice x≥2x \geq 2 este soluție, deci infinit de soluții. Pentru exact două soluții distincte, nu există aa (fie niciuna, fie una, fie infinit).
42 puncte
Pentru a=5a = 5, ecuația devine x2−4x+5=x−2\sqrt{x^2 - 4x + 5} = x - 2. Ridicând la pătrat: x2−4x+5=x2−4x+4⇒5=4x^2 - 4x + 5 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 5 = 4, fals, deci nu are soluții. Suma este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiții: x+3≥0⇒x≥−3x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3, x−2≥0⇒x≥2x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2, 4x+1≥0⇒x≥−144x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4}. Intersecția: x≥2x \geq 2.
23 puncte
Ridicăm la pătrat: (x+3−x−2)2=4x+1⇒(x+3)+(x−2)−2(x+3)(x−2)=4x+1⇒2x+1−2x2+x−6=4x+1(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2})^2 = 4x+1 \Rightarrow (x+3) + (x-2) - 2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 4x+1 \Rightarrow 2x+1 - 2\sqrt{x^2+x-6} = 4x+1.
33 puncte
Simplificăm: −2x2+x−6=2x⇒x2+x−6=−x-2\sqrt{x^2+x-6} = 2x \Rightarrow \sqrt{x^2+x-6} = -x. Cum x≥2x \geq 2, −x≤−2<0-x \leq -2 < 0, dar x2+x−6≥0\sqrt{x^2+x-6} \geq 0, deci ecuația x2+x−6=−x\sqrt{x^2+x-6} = -x are soluție doar dacă −x≥0-x \geq 0, adică x≤0x \leq 0, contradicție cu x≥2x \geq 2.
42 puncte
Prin urmare, nu există soluții reale. Verificare: pentru x≥2x \geq 2, x+3−x−2>0\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} > 0 și 4x+1>0\sqrt{4x+1} > 0, dar ecuația nu are soluție după calcule.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Ecuații iraționaleTrigonometrieStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația: 5x4−2⋅cos⁡(3x)=x4\dfrac{5}{x^4}-2\cdot\cos(3x)=\sqrt[4]{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați domeniul de definiție: termenul x4\sqrt[4]{x} cere x≥0x\ge0 iar 5x4\dfrac{5}{x^4} cere x≠0x\ne0, deci x>0x>0.
24 puncte
Analizați funcțiile implicate (continuitate, semn, monotonie) și încercați izolare numerică a soluțiilor (metode grafice sau aplicarea teoremelor despre intersecția funcțiilor).
33 puncte
Găsiți soluțiile numerice prin iterație sau calcul numeric și verificați fiecare soluție în ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#5Ecuații iraționaleEcuații exponentialeStudiul funcțiilor
Rezolvați ecuația (corectată pentru consistență): x5x+2⋅0.2⋅4x+2x−4=125⋅(0.04)x−4\sqrt[x-4]{\dfrac{x}{5\sqrt{x+2}}\cdot 0.2\cdot\sqrt{\dfrac{4}{x+2}}}=125\cdot(0.04)^{x-4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul: cerinţele sunt x+2>0⇒x>−2x+2>0\Rightarrow x>-2 şi x≠4x\ne4 (indexul rădăcinii). De asemenea radicandul trebuie strict pozitiv; pentru x>−2x>-2 şi x≠4x\ne4 expresia este pozitivă.
23 puncte
Simplificați expresia din interiorul rădăcinii: 0.2=150.2=\tfrac{1}{5} şi 4x+2=2x+2\sqrt{\tfrac{4}{x+2}}=\tfrac{2}{\sqrt{x+2}}, deci radicandul devine 2x25(x+2)\dfrac{2x}{25(x+2)}. Ecuația devine (2x25(x+2)) ⁣1x−4=511−2x\left(\dfrac{2x}{25(x+2)}\right)^{\!\tfrac{1}{x-4}}=5^{11-2x} (deoarece 125=53125=5^3 şi 0.04=5−20.04=5^{-2}).
32 puncte
Observați că funcția diferență este continuă pentru x>−2x> -2, x≠4x\ne4 şi există o singură soluţie reală cu x>4x>4; aplicați metoda numerică (de exemplu metoda bisecţiei sau Newton) pe intervalul (5,6)(5,6) pentru a o determina.
42 puncte
Obţineţi aproximarea numerică: soluţia reală este x≈5.95x\approx 5.95 (în aproximare cu două zecimale).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#6Ecuații iraționaleTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 3cos⁡x+sin⁡x−2+cot⁡3x+sin⁡2x−14=sin⁡(3x2)+22\sqrt{\sqrt{3}\cos x + \sin x - 2} + \sqrt{\cot 3x + \sin^{2} x - \tfrac{1}{4}} = \sin\left(\tfrac{3x}{2}\right) + \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Accesează toate cele 6 probleme de Ecuații iraționale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.