Probleme de nivel mediu de Ecuații iraționale

Clasa a 10-a • 114 probleme de nivel mediu

Ușor (40)Greu (6)Toate
Mediu#1Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 4x3+2+x3+35=2.\frac{4}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x} + 3}{5} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=x3t = \sqrt[3]{x}, cu condiția t≠−2t \ne -2 (pentru ca primul numitor să nu fie zero). Ecuația devine 4t+2+t+35=2.\frac{4}{t + 2} + \frac{t + 3}{5} = 2.\n
24 puncte
Aducem la același numitor și obținem ecuația algebrică 20+(t+3)(t+2)=10(t+2),20 + (t + 3)(t + 2) = 10(t + 2), adică t2−5t+6=0,t^2 - 5t + 6 = 0, de unde t=2t = 2 sau t=3t = 3.\n
33 puncte
Revenim la xx: x=t3x = t^3, astfel x1=8x_1 = 8, x2=27x_2 = 27. Ambele valori sunt admise (nu anulează numitorul). Soluția este S={8,27}S = \{8, 27\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 2−x+42−x+3=2.\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul este 2−x≥0⇒x≤22 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2. Notăm t=2−x≥0t = \sqrt{2 - x} \ge 0, astfel ecuația devine t+4t+3=2.t + \frac{4}{t + 3} = 2.\n
24 puncte
Înmulțim cu t+3t + 3: t(t+3)+4=2(t+3)⇒t2+3t+4=2t+6,t(t + 3) + 4 = 2(t + 3) \Rightarrow t^2 + 3t + 4 = 2t + 6, deci t2+t−2=0.t^2 + t - 2 = 0. Factorizăm: (t+2)(t−1)=0(t + 2)(t - 1) = 0, de unde t=1t = 1 (valoarea t=−2t = -2 se respinge deoarece t≥0t \ge 0).\n
33 puncte
Din 2−x=1\sqrt{2 - x} = 1 obținem 2−x=1⇒x=12 - x = 1 \Rightarrow x = 1, care respectă domeniul și verifică ecuația. Soluția este S={1}S = \{1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 3x+1+1+2x+1=5.\frac{3}{\sqrt{x + 1} + 1} + 2\sqrt{x + 1} = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de existență este x+1≥0⇒x≥−1x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1. Notăm t=x+1≥0t = \sqrt{x + 1} \ge 0, astfel ecuația devine 3t+1+2t=5.\frac{3}{t + 1} + 2t = 5.\n
24 puncte
Înmulțim cu t+1t + 1: 3+2t(t+1)=5(t+1)⇒3+2t2+2t=5t+5,3 + 2t(t + 1) = 5(t + 1) \Rightarrow 3 + 2t^2 + 2t = 5t + 5, deci 2t2−3t−2=0.2t^2 - 3t - 2 = 0. Rezolvăm: Δ=9+16=25\Delta = 9 + 16 = 25, iar t1,2=3±54=2, −12.t_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4} = 2,\ -\tfrac{1}{2}. Păstrăm doar t=2t = 2, deoarece t≥0t \ge 0.\n
33 puncte
Din x+1=2\sqrt{x + 1} = 2 obținem x+1=4⇒x=3x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3, care verifică ecuația. Soluția este S={3}S = \{3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația x−4x+2=x−8.\frac{x - 4}{\sqrt{x + 2}} = x - 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Impunem x+2>0x + 2 > 0 (numitor nenul și radical definit), deci x>−2x > -2. Mutăm termenul cu radical: x−4x+2=x−8\dfrac{x - 4}{\sqrt{x + 2}} = x - 8.\n
24 puncte
Înmulțim cu x+2\sqrt{x + 2} și apoi ridicăm la pătrat: x−4=(x−8)x+2⇒(x−4)2=(x−8)2(x+2).x - 4 = (x - 8)\sqrt{x + 2} \Rightarrow (x - 4)^2 = (x - 8)^2(x + 2). După dezvoltare obținem ecuația polinomială x3−15x2+40x+112=0,x^3 - 15x^2 + 40x + 112 = 0, care se facturează în (x−7)(x2−8x−16)=0.(x - 7)(x^2 - 8x - 16) = 0. Rezolvăm: x1=7x_1 = 7, x2,3=4±42.x_{2,3} = 4 \pm 4\sqrt{2}.\n
33 puncte
Verificăm în ecuația inițială: x=7x = 7 nu satisface egalitatea (apare o soluție falsă introdusă prin pătrare), iar x=4±42x = 4 \pm 4\sqrt{2} verifică ecuația și respectă condiția x>−2x > -2. Soluția este S={4−42, 4+42}.S = \{4 - 4\sqrt{2},\ 4 + 4\sqrt{2}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația xx2+15−x x2+154=2.x\sqrt{x^2 + 15} - \sqrt{x}\,\sqrt[4]{x^2 + 15} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Impunem x≥0x \ge 0 pentru ca x\sqrt{x} să fie definit. Notăm a=x>0a = \sqrt{x} > 0 și b=x2+154>0b = \sqrt[4]{x^2 + 15} > 0. Atunci x=a2x = a^2, x2+15=b2\sqrt{x^2 + 15} = b^2, iar ecuația devine a2b2−ab=2⇒ab(ab−1)=2.a^2 b^2 - a b = 2 \Rightarrow ab(ab - 1) = 2.\n
24 puncte
Notăm y=ab>0y = ab > 0. Ecuația devine y(y−1)=2⇒y2−y−2=0y(y - 1) = 2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0, cu soluții y=2y = 2 și y=−1y = -1. Deoarece y>0y > 0, păstrăm ab=2ab = 2. De aici b=2ab = \dfrac{2}{a}.\n
33 puncte
Relația b4=x2+15=a4+15b^4 = x^2 + 15 = a^4 + 15 devine (2a)4=a4+15⇒16a4=a4+15.\left(\frac{2}{a}\right)^4 = a^4 + 15 \Rightarrow \frac{16}{a^4} = a^4 + 15. Notăm t=a4>0t = a^4 > 0 și obținem t2+15t−16=0t^2 + 15t - 16 = 0, de unde t=1t = 1 (cealaltă soluție este negativă). Rezultă a=1a = 1, deci x=a2=1x = a^2 = 1. Verificarea arată că x=1x = 1 satisface ecuația. Soluția este S={1}S = \{1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 2x+1x−1−x−12x+1=1.\sqrt{\frac{2x + 1}{x - 1}} - \sqrt{\frac{x - 1}{2x + 1}} = 1.
Mediu#7Ecuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația x+1x−1−x−1x+1=32.\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} - \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \frac{3}{2}.
Mediu#8Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația x−x+1=5.x - \sqrt{x + 1} = 5.
Mediu#9Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 4+2x−x2=x−2.\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2.
Mediu#10Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 6−4x−x2=x+4.\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4.
Mediu#11Ecuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 1+4x−x2=x−1.\sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1.
Mediu#12Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 6x−x2−5=2x−6.\sqrt{6x - x^2 - 5} = 2x - 6.
Mediu#13Ecuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 2+19−2xx=1.\frac{2 + \sqrt{19 - 2x}}{x} = 1.
Mediu#14Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 2x2+3x−52x2+3x+9+3=0.2x^2 + 3x - 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} + 3 = 0.
Mediu#15Ecuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația x2+x2+2x+8=12−2x.x^2 + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12 - 2x.

Și alte 99 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Accesează toate cele 114 probleme de Ecuații iraționale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.