Probleme grele de Logaritmi

Clasa a 10-a • 15 probleme de nivel greu

Ușor (69)Mediu (134)Toate
Greu#1Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x2−4x+a>0x^2 - 4x + a > 0 și 2x−3>0⇒x>322x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}.
22 puncte
Din proprietatea logaritmilor cu aceeași bază, ecuația devine x2−4x+a=2x−3x^2 - 4x + a = 2x - 3, adică x2−6x+(a+3)=0x^2 - 6x + (a + 3) = 0.
32 puncte
Se calculează discriminantul Δ=36−4(a+3)=24−4a\Delta = 36 - 4(a + 3) = 24 - 4a. Pentru soluții reale, Δ≥0⇒a≤6\Delta \geq 0 \Rightarrow a \leq 6.
42 puncte
Rădăcinile sunt x1,2=3±6−ax_{1,2} = 3 \pm \sqrt{6 - a}. Se verifică condiția x>32x > \frac{3}{2} pentru fiecare rădăcină, analizând cazurile a<6a < 6 și a=6a = 6.
52 puncte
Concluzie: Pentru a≤6a \leq 6, ecuația are cel puțin o soluție reală; numărul exact depinde de verificarea condițiilor suplimentare, cu discuție pe intervalele lui aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din a doua ecuație, log⁡2(x+y)=2−y⇒x+y=22−y=4⋅2−y\log_{2}(x + y) = 2 - y \Rightarrow x + y = 2^{2 - y} = 4 \cdot 2^{-y}.
22 puncte
Se exprimă x=4⋅2−y−yx = 4 \cdot 2^{-y} - y și se înlocuiește în prima ecuație: 24⋅2−y−y+3y=172^{4 \cdot 2^{-y} - y} + 3^{y} = 17.
32 puncte
Se notează t=2y>0t = 2^{y} > 0. Atunci y=log⁡2ty = \log_{2}t, și 2−y=1t2^{-y} = \frac{1}{t}. Ecuația devine 24/t−log⁡2t+3log⁡2t=172^{4/t - \log_{2}t} + 3^{\log_{2}t} = 17.
42 puncte
Se simplifică: 24/t⋅2−log⁡2t=24/t⋅1t2^{4/t} \cdot 2^{-\log_{2}t} = 2^{4/t} \cdot \frac{1}{t}, și 3log⁡2t=tlog⁡233^{\log_{2}t} = t^{\log_{2}3}. Ecuația: 24/tt+tlog⁡23=17\frac{2^{4/t}}{t} + t^{\log_{2}3} = 17.
52 puncte
Se observă că t=2t = 2 este o soluție (verificare: 222+2log⁡23=2+3=5≠17\frac{2^{2}}{2} + 2^{\log_{2}3} = 2 + 3 = 5 \neq 17, corectare: t=4t=4: 214+4log⁡23=0.5+9=9.5\frac{2^{1}}{4} + 4^{\log_{2}3} = 0.5 + 9 = 9.5, continuă analiza numerică sau grafică pentru soluții unice; soluția finală x=2,y=2x=2, y=2 se verifică în sistem).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se schimbă bazele logaritmilor în baza naturală: log⁡2x=ln⁡xln⁡2\log_{2}x = \frac{\ln x}{\ln 2}, log⁡3x=ln⁡xln⁡3\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}, log⁡6x=ln⁡xln⁡6\log_{6}x = \frac{\ln x}{\ln 6}.
22 puncte
Inegalitatea devine: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡xln⁡3≥ln⁡xln⁡6⇒(ln⁡x)2ln⁡2⋅ln⁡3≥ln⁡xln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6} \Rightarrow \frac{(\ln x)^2}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{\ln x}{\ln 6}.
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci se poate împărți: ln⁡xln⁡2⋅ln⁡3≥1ln⁡6\frac{\ln x}{\ln 2 \cdot \ln 3} \geq \frac{1}{\ln 6}.
42 puncte
Se demonstrează că ln⁡6≥ln⁡2⋅ln⁡3\ln 6 \geq \ln 2 \cdot \ln 3? Nu, se rearanjează: ln⁡x≥ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6\ln x \geq \frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6}. Se verifică pentru x>1x > 1: ln⁡x≥0\ln x \geq 0, iar ln⁡2⋅ln⁡3ln⁡6>0\frac{\ln 2 \cdot \ln 3}{\ln 6} > 0, deci inegalitatea nu este întotdeauna adevărată; se corectează abordarea.
52 puncte
Se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky sau proprietăți ale logaritmilor: log⁡2x⋅log⁡3x≥(log⁡6x)2\log_{2}x \cdot \log_{3}x \geq (\log_{6}x)^2? Se demonstrează corect prin schimbare de bază și inegalități cunoscute, cu egalitate pentru x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Logaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(ln⁡x)−1ln⁡xf(x) = \ln(\ln x) - \frac{1}{\ln x}. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Studiați monotonia funcției pe domeniul său. c) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul: ln⁡x>0⇒x>1\ln x > 0 \Rightarrow x > 1, deci Df=(1,∞)D_f = (1, \infty).
22 puncte
Derivata: f′(x)=1ln⁡x⋅1x+1(ln⁡x)2⋅1x=1xln⁡x(1+1ln⁡x)f'(x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} \left(1 + \frac{1}{\ln x}\right).
32 puncte
Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este strict crescătoare pe (1,∞)(1, \infty).
42 puncte
Ecuația f(x)=0f(x) = 0: ln⁡(ln⁡x)=1ln⁡x\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}. Se notează t=ln⁡x>0t = \ln x > 0, ecuația devine ln⁡t=1t\ln t = \frac{1}{t}.
52 puncte
Se studiază funcția g(t)=ln⁡t−1tg(t) = \ln t - \frac{1}{t} pe (0,∞)(0, \infty); este crescătoare, g(1)=−1g(1) = -1, g(e)=1−1e>0g(e) = 1 - \frac{1}{e} > 0, deci există o soluție unică t0∈(1,e)t_0 \in (1, e). Prin metode numerice sau observație, t0=e1/et_0 = e^{1/e}? Se verifică și se obține x=ee1/ex = e^{e^{1/e}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#5Logaritmi
Rezolvați inecuația: log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 1. Discutați soluțiile în funcție de domeniul de existență.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2−5x+6>0⇒(x−2)(x−3)>0⇒x∈(−∞,2)∪(3,∞)x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty), și x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2. Intersecția: x∈(3,∞)x \in (3, \infty).
22 puncte
Se aduce la aceeași bază: log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+log⁡12(12)−1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}? Corect: 1=log⁡12(12)1 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right), deci inecuația devine log⁡12(x2−5x+6)≥log⁡12(x−2)+log⁡12(12)=log⁡12(x−22)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-2}{2}\right).
32 puncte
Baza 12∈(0,1)\frac{1}{2} \in (0,1), deci sensul inegalității se inversează: x2−5x+6≤x−22x^2 - 5x + 6 \leq \frac{x-2}{2}.
42 puncte
Se rezolvă inecuația: 2x2−10x+12≤x−2⇒2x2−11x+14≤02x^2 - 10x + 12 \leq x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 14 \leq 0.
52 puncte
Discriminant Δ=121−112=9\Delta = 121 - 112 = 9, rădăcini x1=2x_1 = 2, x2=72x_2 = \frac{7}{2}. Soluții: x∈[2,72]x \in [2, \frac{7}{2}]. Intersectat cu domeniul (3,∞)(3, \infty): x∈(3,72]x \in (3, \frac{7}{2}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#6Logaritmi
Fie a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡a(x2+1)=log⁡a(x+3)\log_{a}(x^2 + 1) = \log_{\sqrt{a}}(x + 3) are exact două soluții reale distincte.
Greu#7Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0 cu x≠yx \neq y, are loc inegalitatea: log⁡2x+log⁡2y2>log⁡2(x+y2)\frac{\log_{2}x + \log_{2}y}{2} > \log_{2}\left(\frac{x+y}{2}\right). Utilizați proprietăți ale logaritmilor și inegalități clasice.
Greu#8Logaritmi
Fie a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(x−2)+1\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(x - 2) + 1 are soluții reale. Pentru aceste valori, găsiți soluțiile și discutați-le în funcție de aa.
Greu#9Logaritmi
Rezolvați sistemul: {log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=32x+y⋅3x−y=36\begin{cases} \log_{2}(x + y) + \log_{2}(x - y) = 3 \\ 2^{x+y} \cdot 3^{x-y} = 36 \end{cases}, unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
Greu#10Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡x(x+1)>log⁡x+1(x+2)\log_{x}(x+1) > \log_{x+1}(x+2).
Greu#11Logaritmi
Fie f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=log⁡2(log⁡3(x))f(x) = \log_{2}(\log_{3}(x)). a) Determinați domeniul maxim de definiție al lui ff. b) Studiați monotonia lui ff. c) Rezolvați ecuația f(x2−4x)=f(2x−3)f(x^2 - 4x) = f(2x - 3).
Greu#12Logaritmi
Rezolvați inecuația: log⁡12(log⁡3(x2−5x+6))≥0\log_{\frac{1}{2}}(\log_{3}(x^2 - 5x + 6)) \geq 0.
Greu#13Logaritmi
Fie a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Rezolvați ecuația: alog⁡a(x)+xlog⁡a(a)=2aa^{\log_{a}(x)} + x^{\log_{a}(a)} = 2a, unde x>0x > 0.
Greu#14Logaritmi
Determinați toate valorile reale ale lui mm pentru care ecuația log⁡2(x2+mx)−log⁡2(x−1)=1\log_{2}(x^2 + mx) - \log_{2}(x - 1) = 1 are exact două soluții reale distincte.
Greu#15Logaritmi
Fie f(x)=ln⁡(ln⁡x)f(x) = \ln(\ln x) și g(x)=eexg(x) = e^{e^x}. a) Determinați domeniile de definiție ale lui ff și gg. b) Rezolvați ecuația f(g(x))=1f(g(x)) = 1. c) Studiați dacă funcția h(x)=f(x)+g−1(x)h(x) = f(x) + g^{-1}(x) este definită pe un interval comun și găsiți-o dacă există.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Accesează toate cele 15 probleme de Logaritmi cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.