Probleme de nivel mediu de Logaritmi

Clasa a 10-a • 134 probleme de nivel mediu

Ușor (69)Greu (15)Toate
Mediu#1LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați sistemul: log⁡3x+log⁡3y=2+log⁡32\log_3 x + \log_3 y = 2 + \log_3 2, log⁡27(x+y)=23\log_{27}(x+y) = \frac{2}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Combinați suma de logaritmi folosind regula log⁡au+log⁡av=log⁡a(uv)\log_a u + \log_a v = \log_a(uv) şi observați că 2=log⁡392=\log_3 9, deci log⁡3x+log⁡3y=log⁡318\log_3 x + \log_3 y = \log_3 18, rezultând xy=18xy=18.\n
23 puncte
Din log⁡27(x+y)=23\log_{27}(x+y)=\frac{2}{3} obţineți x+y=272/3=9x+y=27^{2/3}=9.\n
34 puncte
Rezolvați sistemul x+y=9x+y=9, xy=18xy=18. Fie t=xt=x atunci t(9−t)=18⇒t2−9t+18=0t(9-t)=18\Rightarrow t^2-9t+18=0, discriminant Δ=9\Delta=9. Soluții t=3t=3 și t=6t=6. Deci (x,y)=(6,3)(x,y)=(6,3) sau (3,6)(3,6); verificați domeniul x>0,y>0x>0,y>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea x⋅(log⁡2x)−3⋅log⁡x+1>1000x\cdot(\log^2 x)-3\cdot\log x+1>1000.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți domeniul x>0x>0;
23 puncte
Puneți t=log⁡xt=\log x (baza 10), astfel x=10tx=10^t și inegalitatea devine 10tt2−3t+1>100010^t t^2-3t+1>1000;
33 puncte
Rezolvați numeric ecuația de frontieră 10tt2−3t+1=100010^t t^2-3t+1=1000 prin metode numerice (iterație sau metoda bisecției) pentru a găsi pragul t0≈2.2853t_0\approx2.2853;
42 puncte
Concluzionați că soluția este t>t0t>t_0, adică x>10t0≈193.0x>10^{t_0}\approx193.0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3LogaritmiEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea 3log⁡x+2<3log⁡x2+5−23^{\log x + 2} < 3^{\log x^2 + 5} - 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție x>0x>0 şi rescrierea expresiilor: 3log⁡x+2=9⋅3log⁡x3^{\log x+2}=9\cdot3^{\log x}, 3log⁡x2+5=243⋅3log⁡x2=243⋅(3log⁡x)23^{\log x^2+5}=243\cdot3^{\log x^2}=243\cdot(3^{\log x})^2.
24 puncte
Puneți y=3log⁡x>0y=3^{\log x}>0 şi obțineți inegalitatea quadratică 243y2−9y−2>0243y^2-9y-2>0. Calculați discriminantul Δ=2025\Delta=2025 şi rădăcinile y=−227,  y=19y=-\tfrac{2}{27},\;y=\tfrac{1}{9}; din semnul parăţii rezultă y>19y>\tfrac{1}{9}.
33 puncte
Revenind la xx, obţineți 3log⁡x>3−2⇒log⁡x>−2⇒x>10−23^{\log x}>3^{-2}\Rightarrow\log x>-2\Rightarrow x>10^{-2}. Concluzie: x>0.01x>0.01.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4LogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați inegalitatea (13)log⁡1/3(3⋅(12)x+5)<21+x\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{1/3}\left(3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+5\right)} < 2^{1+x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea (13)log⁡1/3U=U\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{1/3}U}=U pentru U>0U>0, deci inegalitatea devine 3⋅(12)x+5<21+x3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+5 < 2^{1+x};
23 puncte
Faceți substituția t=2x>0t=2^{x}>0, astfel (12)x=1t\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}=\tfrac{1}{t} şi obțineți inegalitatea rațională 3⋅1t+5<2t3\cdot\tfrac{1}{t}+5<2t, apoi multiplicați cu t>0t>0 pentru a obţine o inegalitate cuadratică în tt: 2t2−5t−3>02t^{2}-5t-3>0;
34 puncte
Calculați rădăcinile (t=3t=3 şi t=−12t=-\tfrac{1}{2}), deduceți condiția t>3t>3 şi reveniți la xx prin 2x>32^{x}>3, deci soluţia este x>log⁡23x>\log_{2}3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 2log⁡4(4−x)=4−log⁡2(−2−x)2\log_4(4 - x) = 4 - \log_2(-2 - x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observaţi schimbul de baze: 2log⁡4(4−x)=log⁡2(4−x)2\log_4(4-x)=\log_2(4-x). Scrieţi ecuaţia ca log⁡2(4−x)+log⁡2(−2−x)=4\log_2(4-x)+\log_2(-2-x)=4. Domeniul impune 4−x>04-x>0 şi −2−x>0-2-x>0, deci x<−2x<-2.
24 puncte
Combinaţi logaritmii: log⁡2((4−x)(−2−x))=4\log_2\big((4-x)(-2-x)\big)=4, deci (4−x)(−2−x)=16(4-x)(-2-x)=16. Aceasta conduce la ecuaţia x2−2x−24=0x^2-2x-24=0 cu soluţiile x=6x=6 şi x=−4x=-4.
32 puncte
Verificaţi domeniul x<−2x<-2 şi păstraţi doar x=−4x=-4; verificaţi substituind în ecuaţia iniţială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 1+2log⁡x+25=log⁡5(x+2)1 + 2\log_{x+2}5 = \log_5(x+2).
Mediu#7LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡2(x4)=15log⁡2(x8)−1\log_2\left(\dfrac{x}{4}\right)=\dfrac{15}{\log_2\left(\dfrac{x}{8}\right)-1}.
Mediu#8LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 1−2(log⁡(x2))2log⁡x−2(log⁡x)2=1\dfrac{1-2\bigl(\log(x^2)\bigr)^2}{\log x - 2\bigl(\log x\bigr)^2}=1 (logaritm cu baza implicită).
Mediu#9LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 16log⁡2(x−2)−13=log⁡1/83x−5\dfrac{1}{6}\log_2(x-2)-\dfrac{1}{3}=\log_{1/8}\sqrt{3x-5}.
Mediu#10LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 2log⁡3(x−2)+log⁡3((x−4)2)=02\log_3(x-2)+\log_3((x-4)^2)=0.
Mediu#11LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡2(2x2)⋅log⁡4(16x)=log⁡4(x3)\sqrt{\log_2(2x^2)}\cdot\log_4(16x)=\log_4(x^3).
Mediu#12LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡(log⁡x)+log⁡(log⁡x3−2)=0\log(\log x) + \log(\log x^3 - 2) = 0
Mediu#13LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația log⁡5(4x−6)−log⁡5(2x−2)=2\log_{\sqrt{5}}(4^x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2^x - 2) = 2.
Mediu#14LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația log⁡2(4x+4)=log⁡22x+log⁡2(2x+1−3)\log_2(4^x + 4) = \log_2 2^x + \log_2(2^{x+1} - 3).
Mediu#15LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația log⁡5x⋅log⁡x(55)+log⁡5(55)=−6\log_{\sqrt{5}} x\cdot\sqrt{\log_x(5\sqrt{5})} + \log_{\sqrt{5}}(5\sqrt{5}) = -\sqrt{6}.

Și alte 119 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Accesează toate cele 134 probleme de Logaritmi cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.