Probleme ușoare de Logaritmi

Clasa a 10-a • 69 probleme de nivel ușor

Mediu (134)Greu (15)Toate
Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie formula dobânzii compuse: S=S0(1+r)nS = S_0 (1+r)^n, unde S0S_0 este suma inițială, r=0.05r=0.05 rata anuală, nn numărul de ani. Pentru dublare, S=2S0S = 2S_0, deci 2=(1.05)n2 = (1.05)^n.
24 puncte
Se aplică logaritmul: log⁡2=nlog⁡1.05\log 2 = n \log 1.05, deci n=log⁡2log⁡1.05n = \frac{\log 2}{\log 1.05}.
33 puncte
Se înlocuiesc valorile: n=0.30100.0212≈14.2n = \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2. Deoarece nn este număr întreg de ani, după 15 ani suma va fi mai mare decât dublu, deci răspunsul este 15 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2LogaritmiFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Găsiți domeniul de definiție și imaginea funcției y=\log(3x^2-4x+5)\.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinați domeniul de definiție impunând argumentul logaritmului strict pozitiv 3x2−4x+5>03x^2-4x+5>0; calculați discriminantul Δ=(−4)2−4⋅3⋅5=−44<0\Delta=(-4)^2-4\cdot3\cdot5=-44<0 şi observați că a=3>0a=3>0, deci polinomul este pozitiv pentru orice xx, astfel domeniul este (−∞,∞)(-\infty,\infty).
25 puncte
Determinați imaginea: polinomul are valoarea minimă în x=46=23x=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}, valoarea minimă fiind 3(23)2−423+5=1133\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\dfrac{2}{3}+5=\dfrac{11}{3}; prin urmare argumentul ia valorile din [11/3,∞)[11/3,\infty) şi imaginea este [log⁡(11/3),∞)[\log(11/3),\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3LogaritmiEcuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați inegalitatea (12)log⁡2(x2−1)>1\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\log_2(x^2-1)} > 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: trebuie x2−1>0⇒∣x∣>1x^2-1>0\Rightarrow |x|>1, deci x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).
24 puncte
Observaţi că baza 12∈(0,1)\tfrac{1}{2}\in(0,1), deci funcţia aya^y scade; inegalitatea (12)log⁡2(x2−1)>1\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\log_2(x^2-1)}>1 este echivalentă cu exponentul log⁡2(x2−1)<0\log_2(x^2-1)<0.
33 puncte
Din log⁡2(x2−1)<0\log_2(x^2-1)<0 rezultă x2−1<1⇒x2<2⇒∣x∣<2x^2-1<1\Rightarrow x^2<2\Rightarrow |x|<\sqrt{2}. Combinând cu domeniul obţinem 1<∣x∣<21<|x|<\sqrt{2}, adică x∈(−2,−1)∪(1,2)x\in(-\sqrt{2},-1)\cup(1,\sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 2log⁡xlog⁡(5x−4)=1\frac{2\log x}{\log(5x-4)}=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Determinați domeniul de definiție: x>0x>0 și 5x−4>05x-4>0 \Rightarrow x>45x>\dfrac{4}{5}.
26 puncte
Din ecuație: 2log⁡x=log⁡(5x−4)2\log x=\log(5x-4) \Rightarrow log⁡(x2)=log⁡(5x−4)\log(x^2)=\log(5x-4) \Rightarrow x2=5x−4x^2=5x-4 \Rightarrow x=1x=1 sau x=4x=4. Ambele satisfac domeniul, deci soluțiile: x∈{1,4}x\in\{1,4\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: log⁡1+x+3log⁡1−x=log⁡1−x2\log \sqrt{1+x} + 3\log \sqrt{1-x} = \log \sqrt{1-x^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție −1<x<1-1<x<1 (toate argumentele logaritmilor trebuie pozitive).
23 puncte
Folosiți proprietatea log⁡a=12log⁡a\log\sqrt{a}=\tfrac{1}{2}\log a pentru a obține log⁡(1+x)+3log⁡(1−x)=log⁡(1−x2)\log(1+x)+3\log(1-x)=\log(1-x^2).
33 puncte
Convertiți în produsuri de argumente: log⁡((1+x)(1−x)3)=log⁡((1+x)(1−x))\log\big((1+x)(1-x)^3\big)=\log\big((1+x)(1-x)\big) și, pentru 1+x≠01+x\neq0, reduceți la ecuația (1−x)3=(1−x)⇒(1−x)(−x)(2−x)=0(1-x)^3=(1-x)\Rightarrow (1-x)(-x)(2-x)=0.
42 puncte
Verificați soluțiile în domeniu: singura soluție admisă este x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: log⁡16x+log⁡4x+log⁡2x=7\log_{16}x+\log_{4}x+\log_{2}x=7.
Ușor#7LogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡1/3(5x−1)>0\log_{1/3}(5x - 1) > 0.
Ușor#8LogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea: log⁡5(3x−1)<1\log_5(3x - 1) < 1.
Ușor#9LogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡7(2x−62x−1)>0\log_7\left(\dfrac{2x-6}{2x-1}\right) > 0.
Ușor#10LogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea: log⁡3∣3−4x∣>2\log_{3}\lvert 3 - 4x\rvert > 2.
Ușor#11LogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați log⁡1/3(3x+4)>log⁡1/3(x2+2)\log_{1/3}(3x+4)>\log_{1/3}(x^2+2).
Ușor#12LogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați (12)log⁡2(x2−1)>1\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\log_2(x^2-1)}>1.
Ușor#13LogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
log⁡0.5(3x−4)<log⁡0.5(x−2)\log_{0.5}(3x-4) < \log_{0.5}(x-2)
Ușor#14LogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡2(2x−1)>log⁡1/222\log_2(2x-1) > \log_{1/\sqrt{2}} 2^2.
Ușor#15LogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡3x+log⁡3x+log⁡1/3x<6\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{1/3} x < 6.

Și alte 54 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Accesează toate cele 69 probleme de Logaritmi cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.