Probleme grele de Probabilități

Clasa a 10-a • 2 probleme de nivel greu

Ușor (180)Mediu (231)Toate
Greu#1ProbabilitățiAplicații ale trigonometriei în geometriePrimitive
Se aleg la întâmplare trei puncte independente și uniform distribuite pe circumferința unui cerc de rază RR. Care este probabilitatea ca aceste puncte să formeze vârfurile unui triunghi ascuțitunghic?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se fixează un punct pe cerc; celelalte două puncte sunt caracterizate de unghiurile θ1\theta_1 și θ2\theta_2 față de acesta, cu 0≤θ1≤θ2≤2π0 \leq \theta_1 \leq \theta_2 \leq 2\pi. Spațiul total are aria 2π22\pi^2.
23 puncte
Triunghiul este ascuțitunghic dacă toate unghiurile sale sunt mai mici de 90∘90^\circ, ceea ce echivalează cu faptul că fiecare arc dintre puncte este mai mic decât π\pi. Condițiile sunt θ1<π\theta_1 < \pi, θ2>π\theta_2 > \pi, și θ2−θ1<π\theta_2 - \theta_1 < \pi.
33 puncte
Aria regiunii favorabile este ∫0πdθ1∫πθ1+πdθ2=∫0πθ1dθ1=π22\int_{0}^{\pi} d\theta_1 \int_{\pi}^{\theta_1 + \pi} d\theta_2 = \int_{0}^{\pi} \theta_1 d\theta_1 = \frac{\pi^2}{2}.
42 puncte
Probabilitatea este P=π2/22π2=14P = \frac{\pi^2/2}{2\pi^2} = \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2ProbabilitățiProgresii Aritmetice
Fie A1,A2,A3A_1, A_2, A_3 evenimente independente astfel încît probabilitățile P(A1),P(A2),P(A3)P(A_1), P(A_2), P(A_3) formează o progresie aritmetică crescătoare. Dacă P(A1)+P(A3)=1P(A_1) + P(A_3) = 1 și P(A2)=12P(A_2) = \frac{1}{2}, calculați: a) Probabilitatea ca toate cele trei evenimente să se realizeze. b) Probabilitatea ca exact două evenimente să se realizeze. c) Probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se realizeze.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm P(A1)=aP(A_1) = a, P(A2)=a+dP(A_2) = a+d, P(A3)=a+2dP(A_3) = a+2d. Din condițiile P(A1)+P(A3)=1P(A_1) + P(A_3) = 1 și P(A2)=12P(A_2) = \frac{1}{2}, obținem 2a+2d=12a + 2d = 1 și a+d=12a+d = \frac{1}{2}, deci a+d=12a+d = \frac{1}{2} și d=12−ad = \frac{1}{2} - a. Probabilitățile sunt P(A1)=aP(A_1) = a, P(A2)=12P(A_2) = \frac{1}{2}, P(A3)=1−aP(A_3) = 1-a, cu 0≤a≤10 \le a \le 1 și a<12a < \frac{1}{2} pentru progresie crescătoare.
22 puncte
Probabilitatea ca toate trei evenimentele să se realizeze este P(A1∩A2∩A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=a⋅12⋅(1−a)=a(1−a)2P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = a \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-a) = \frac{a(1-a)}{2}.
33 puncte
Probabilitatea ca exact două evenimente să se realizeze este suma probabilităților pentru combinațiile posibile: P((A1∩A2∩A3‾)∪(A1∩A2‾∩A3)∪(A1‾∩A2∩A3))=a⋅12⋅a+a⋅12⋅(1−a)+(1−a)⋅12⋅(1−a)=a22+a(1−a)2+(1−a)22=a2+a(1−a)+(1−a)22=a2−a+12P((A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) \cup (A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) \cup (\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3)) = a \cdot \frac{1}{2} \cdot a + a \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-a) + (1-a) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-a) = \frac{a^2}{2} + \frac{a(1-a)}{2} + \frac{(1-a)^2}{2} = \frac{a^2 + a(1-a) + (1-a)^2}{2} = \frac{a^2 - a + 1}{2}.
42 puncte
Probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se realizeze este 1−P(A1‾∩A2‾∩A3‾)=1−(1−a)⋅12⋅a=1−a(1−a)21 - P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}) = 1 - (1-a) \cdot \frac{1}{2} \cdot a = 1 - \frac{a(1-a)}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Accesează toate cele 2 probleme de Probabilități cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.