Probleme ușoare de Probabilități

Clasa a 10-a • 180 probleme de nivel ușor

Mediu (231)Greu (2)Toate
Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definește variabila aleatoare XX pentru câștigul net: XX ia valorile 9595 lei (câștig brut 100 lei minus cost 5 lei), 4545 lei (câștig brut 50 lei minus cost 5 lei), și −5-5 lei (niciun câștig, pierdere de 5 lei).
24 puncte
Calculează valoarea medie E(X)E(X) folosind formula: E(X)=∑xiP(X=xi)=95⋅0.01+45⋅0.05+(−5)⋅0.94E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = 95 \cdot 0.01 + 45 \cdot 0.05 + (-5) \cdot 0.94.
32 puncte
Efectuează calculele: E(X)=0.95+2.25−4.7=−1.5E(X) = 0.95 + 2.25 - 4.7 = -1.5 lei.
42 puncte
Interpretare: Valoarea medie negativă indică că, pe termen lung, jucătorul pierde în medie 1.5 lei per bilet, deci jocul nu este echitabil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea distribuției binomiale: n=5n=5 (mărimea eșantionului), p=0.6p=0.6 (probabilitatea de susținere), k=3k=3 (numărul dorit de susținători).
24 puncte
Aplicarea formulei probabilității binomiale: P(X=3)=C53⋅(0.6)3⋅(0.4)2P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{2}.
33 puncte
Calculul: C53=10C_5^3 = 10, (0.6)3=0.216(0.6)^3 = 0.216, (0.4)2=0.16(0.4)^2 = 0.16, deci P(X=3)=10⋅0.216⋅0.16=0.3456P(X=3) = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456.
41 punct
Exprimarea rezultatului: Probabilitatea este 0.34560.3456 sau aproximativ 34.56%34.56\%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți variabila aleatoare X∼N(50,22)X \sim N(50, 2^2) și standardizați pentru intervalele date: Z=X−502Z = \frac{X - 50}{2}. Apoi, P(X<48)=P(Z<−1)P(X < 48) = P(Z < -1) și P(X>52)=P(Z>1)P(X > 52) = P(Z > 1).
23 puncte
Folosiți simetria distribuției normale: P(Z<−1)=P(Z>1)=1−P(Z<1)P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1). Din informația dată, P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, deci P(Z>1)≈1−0.8413=0.1587P(Z > 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587.
34 puncte
Probabilitatea totală de defect este suma: P(defect)=P(X<48)+P(X>52)=0.1587+0.1587=0.3174P(\text{defect}) = P(X < 48) + P(X > 52) = 0.1587 + 0.1587 = 0.3174. Convertiți la procent: 0.3174×100%=31.74%0.3174 \times 100\% = 31.74\%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4ProbabilitățiMatematică aplicatăCombinatorică
Într-un lot de 100 de produse, 5 sunt defecte. Se aleg la întâmplare 3 produse fără revenire. Calculați probabilitatea ca exact un produs să fie defect. Apoi, determinați probabilitatea ca cel puțin un produs să fie defect.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Numărul total de moduri de a alege 3 produse din 100: (1003)=100×99×986=161700\binom{100}{3} = \frac{100 \times 99 \times 98}{6} = 161700.
23 puncte
Numărul de moduri de a alege exact un produs defect: Alegem 1 defect din 5 și 2 nedefecte din 95: (51)(952)=5×95×942=5×4465=22325\binom{5}{1} \binom{95}{2} = 5 \times \frac{95 \times 94}{2} = 5 \times 4465 = 22325.
32 puncte
Probabilitatea pentru exact un defect: P=(51)(952)(1003)=22325161700=446532340≈0.138P = \frac{\binom{5}{1} \binom{95}{2}}{\binom{100}{3}} = \frac{22325}{161700} = \frac{4465}{32340} \approx 0.138.
43 puncte
Probabilitatea pentru cel puțin un defect: Folosind regula complementului, probabilitatea niciun defect: (953)(1003)=138415161700≈0.856\frac{\binom{95}{3}}{\binom{100}{3}} = \frac{138415}{161700} \approx 0.856, deci P(cel puțin un)=1−0.856=0.144P(\text{cel puțin un}) = 1 - 0.856 = 0.144.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5ProbabilitățiCombinatorică
Într-un depozit, 10% dintre produse sunt defecte. Se aleg la întâmplare 5 produse pentru control. Care este probabilitatea ca exact 2 produse să fie defecte? Dacă se știe că cel puțin un produs este defect, care este probabilitatea ca exact două să fie defecte?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea faptului că numărul de produse defecte urmează o distribuție binomială cu n=5n=5 și p=0.1p=0.1.
23 puncte
Calculul probabilității P(X=2)P(X=2) folosind formula binomială: P(X=2)=C52⋅(0.1)2⋅(0.9)3=10⋅0.01⋅0.729=0.0729P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^3 = 10 \cdot 0.01 \cdot 0.729 = 0.0729.
33 puncte
Calculul probabilității P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(0.9)5=1−0.59049=0.40951P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0.9)^5 = 1 - 0.59049 = 0.40951.
42 puncte
Probabilitatea condiționată P(X=2∣X≥1)=P(X=2)P(X≥1)=0.07290.40951≈0.1781P(X=2 | X \geq 1) = \frac{P(X=2)}{P(X \geq 1)} = \frac{0.0729}{0.40951} \approx 0.1781.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un proces de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este p=0.03p = 0.03. Se selectează aleatoriu n=20n = 20 de articole. Fie XX variabila aleatoare care reprezintă numărul de articole defecte. Calculați: a) Probabilitatea ca exact 33 articole să fie defecte. b) Probabilitatea ca numărul de articole defecte să fie între 11 și 44, inclusiv. c) Valoarea medie E(X)E(X) și dispersia Var(X)Var(X).
Ușor#7ProbabilitățiCombinatorică
Într-un lot de 200200 de becuri, probabilitatea ca un bec să fie defect este de 0.050.05. Se aleg la întâmplare 1010 becuri. Calculați probabilitatea ca exact 22 becuri să fie defecte.
Ușor#8ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți sunt de acord cu o anumită propunere. Se selectează aleatoriu 5 persoane. Care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să fie de acord? Și care este probabilitatea ca cel puțin 3 să fie de acord?
Ușor#9ProbabilitățiMatematică aplicată
O fabrică produce componente electronice, iar probabilitatea ca un component să fie defect este 0.050.05. În cadrul unui control de calitate, se testează componentele una câte una până când se găsește primul defect. Fie XX numărul de componente testate până la găsirea primului defect. Determinați: a) Probabilitatea ca X≥10X \geq 10. b) Valoarea medie a lui XX. c) Dacă se testează 50 de componente independent, care este probabilitatea ca să existe cel puțin un defect?
Ușor#10ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un sondaj, se constată că 60%60\% dintre persoane vorbesc engleza, 40%40\% vorbesc franceza, și 30%30\% vorbesc ambele limbi. Dacă se alege o persoană la întâmplare, care este probabilitatea că aceasta vorbește cel puțin engleza sau franceza?
Ușor#11ProbabilitățiStatistică descriptivăMatematică aplicată
Un sondaj arată că 60% dintre locuitorii unui oraș folosesc transportul public. Se selectează aleatoriu 10 persoane. a) Care este probabilitatea ca exact 6 să folosească transportul public? b) Care este probabilitatea ca cel puțin 8 să folosească transportul public? c) Dacă se estimează că costul întreținerii transportului public este de 1 milion lei pe an pentru fiecare 1000 de utilizatori, iar populația orașului este de 100000, estimați costul anual bazat pe sondaj.
Ușor#12ProbabilitățiMatematică aplicatăStatistică descriptivă
O fabrică produce componente electronice, iar probabilitatea ca un component să fie defect este de 0.020.02. Într-un lot de 200200 de componente, se aleg la întâmplare 55 componente pentru testare. Determinați probabilitatea ca cel puțin un component să fie defect. Utilizați aproximarea cu distribuția binomială sau Poisson dacă este cazul.
Ușor#13ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un sondaj, probabilitatea ca o persoană să voteze este p=0.6p=0.6. Dacă se aleg aleatoriu 10 persoane, calculați probabilitatea ca exact 6 să voteze și probabilitatea ca cel puțin 8 să voteze.
Ușor#14ProbabilitățiCombinatoricăStatistică descriptivă
Conform unui sondaj, 70% din populație preferă un anumit produs. Dacă se aleg la întâmplare 12 persoane, care este probabilitatea ca exact 9 să prefere acel produs?
Ușor#15ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-o populație, 60%60\% dintre persoane sunt fumători, iar 40%40\% sunt nefumători. Se știe că probabilitatea ca un fumător să aibă o anumită boală este de 5%5\%, iar pentru un nefumător este de 1%1\%. Alegeți aleatoriu o persoană din populație. Calculați probabilitatea ca această persoană să aibă boala. Știind că persoana aleasă are boala, determinați probabilitatea ca ea să fie fumătoare.

Și alte 165 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Accesează toate cele 180 probleme de Probabilități cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.