Probleme de nivel mediu de Probabilități

Clasa a 10-a • 231 probleme de nivel mediu

Ușor (180)Greu (2)Toate
Mediu#1ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se definește variabila aleatoare X∼Binomial(50;0,02)X \sim \text{Binomial}(50; 0,02). Probabilitatea cerută este P(X≤2)=∑k=02C50k(0,02)k(0,98)50−kP(X \leq 2) = \sum_{k=0}^{2} C_{50}^k (0,02)^k (0,98)^{50-k}.
23 puncte
Pentru aproximarea Poisson, se ia λ=50×0,02=1\lambda = 50 \times 0,02 = 1. Atunci Y∼Poisson(1)Y \sim \text{Poisson}(1) și P(Y≤2)=e−1∑k=021kk!=e−1(1+1+12)P(Y \leq 2) = e^{-1} \sum_{k=0}^{2} \frac{1^k}{k!} = e^{-1} \left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right).
32 puncte
Se calculează valorile: P(X≤2)≈C500(0,98)50+C501(0,02)(0,98)49+C502(0,02)2(0,98)48≈0,3642+0,3716+0,1858=0,9216P(X \leq 2) \approx C_{50}^0 (0,98)^{50} + C_{50}^1 (0,02)(0,98)^{49} + C_{50}^2 (0,02)^2 (0,98)^{48} \approx 0,3642 + 0,3716 + 0,1858 = 0,9216 (valori aproximative). P(Y≤2)=e−1×2,5≈0,3679×2,5=0,9198P(Y \leq 2) = e^{-1} \times 2,5 \approx 0,3679 \times 2,5 = 0,9198.
42 puncte
Comparație: Ambele probabilități sunt apropiate, cu o diferență mică, confirmând că aproximarea Poisson este bună pentru nn mare și pp mic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2ProbabilitățiMatematică aplicată
Un fabricant produce componente electronice. Probabilitatea ca o componentă să fie defectă este p=0.02p = 0.02. Se testează un lot de n=100n = 100 de componente. Folosind aproximarea cu distribuția Poisson, calculați probabilitatea ca cel mult 3 componente să fie defecte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm că numărul de componente defecte urmează o distribuție binomială cu n=100n=100 și p=0.02p=0.02.
23 puncte
Deoarece nn este mare și pp este mic, aproximăm cu distribuția Poisson cu parametrul λ=np=100×0.02=2\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2.
33 puncte
Probabilitatea cerută este P(X≤3)=∑k=03e−22kk!P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} \frac{e^{-2} 2^k}{k!}.
42 puncte
Calculăm numeric: P(X≤3)=e−2(200!+211!+222!+233!)=e−2(1+2+2+86)≈e−2×6.333...≈0.1353×6.333...≈0.8571P(X \leq 3) = e^{-2} \left( \frac{2^0}{0!} + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} \right) = e^{-2} (1 + 2 + 2 + \frac{8}{6}) \approx e^{-2} \times 6.333... \approx 0.1353 \times 6.333... \approx 0.8571.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3ProbabilitățiStatistică descriptivăMatematică aplicată
Înălțimile bărbaților adulți într-o țară sunt distribuite normal cu media de 175 cm și abaterea standard de 10 cm. Ce procentaj dintre bărbați au înălțimi între 165 cm și 185 cm? Dacă se ia un eșantion de 100 de bărbați, care este probabilitatea ca media înălțimii eșantionului să fie mai mare de 177 cm?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru prima parte, calculați scorurile zz: z1=165−17510=−1z_1 = \frac{165-175}{10} = -1 și z2=185−17510=1z_2 = \frac{185-175}{10} = 1. Folosiți proprietatea că P(−1<Z<1)≈0.6827P(-1 < Z < 1) \approx 0.6827 din tabelul distribuției normale standard.
23 puncte
Procentajul este 0.6827⋅100%=68.27%0.6827 \cdot 100\% = 68.27\%.
32 puncte
Pentru a doua parte, aplicați teorema limitei centrale: media eșantionului Xˉ\bar{X} are distribuție normală cu media μ=175\mu = 175 cm și abaterea standard σXˉ=10100=1\sigma_{\bar{X}} = \frac{10}{\sqrt{100}} = 1 cm.
42 puncte
Calculați z=177−1751=2z = \frac{177-175}{1} = 2. Probabilitatea P(Xˉ>177)=P(Z>2)=1−P(Z≤2)≈1−0.9772=0.0228P(\bar{X} > 177) = P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228 sau 2.28%2.28\%.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4ProbabilitățiCombinatoricăMatematică aplicată
Într-o fabrică, probabilitatea ca un produs să fie defect este 0.02. Se verifică un lot de 100 de produse. Determinați probabilitatea ca în lot să fie cel mult 3 produse defecte, folosind distribuția binomială. Aproximați rezultatul cu distribuția Poisson.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie XX numărul de produse defecte. X∼Binomial(n=100,p=0.02)X \sim \text{Binomial}(n=100, p=0.02). Probabilitatea cerută este P(X≤3)P(X \leq 3).
23 puncte
Calculați P(X=k)=(100k)(0.02)k(0.98)100−kP(X=k) = \binom{100}{k} (0.02)^k (0.98)^{100-k} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3. Valori aproximative: P(X=0)≈0.1326P(X=0) \approx 0.1326, P(X=1)≈0.2707P(X=1) \approx 0.2707, P(X=2)≈0.2734P(X=2) \approx 0.2734, P(X=3)≈0.1823P(X=3) \approx 0.1823.
32 puncte
P(X≤3)≈0.1326+0.2707+0.2734+0.1823=0.8590P(X \leq 3) \approx 0.1326 + 0.2707 + 0.2734 + 0.1823 = 0.8590.
42 puncte
Aproximație Poisson: λ=np=2\lambda = np = 2. Pentru Y∼Poisson(2)Y \sim \text{Poisson}(2), P(Y≤3)=e−2(1+2+222!+233!)≈0.8571P(Y \leq 3) = e^{-2} \left(1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!}\right) \approx 0.8571. Comparație cu rezultatul binomial.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5ProbabilitățiMatematică aplicatăStatistică descriptivă
Un studiu arată că 30% dintre clienții unui magazin cumpără produse promoționale. Dacă 15 clienți intră aleatoriu în magazin, care este probabilitatea ca exact 5 dintre ei să cumpere produse promoționale? Folosiți aproximarea cu distribuția normală dacă este necesar.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Identificați distribuția: numărul de clienți care cumpără produse promoționale, XX, urmează o distribuție binomială cu n=15n=15 și p=0.3p=0.3, adică X∼Binomial(15,0.3)X \sim \text{Binomial}(15, 0.3).
22 puncte
Scrieți probabilitatea exactă: P(X=5)=(155)(0.3)5(0.7)10P(X=5) = \binom{15}{5} (0.3)^5 (0.7)^{10}.
33 puncte
Calculați valorile: (155)=3003\binom{15}{5} = 3003, (0.3)5=0.00243(0.3)^5 = 0.00243, (0.7)10≈0.0282475(0.7)^{10} \approx 0.0282475, și înmulțiți pentru a obține probabilitatea exactă.
42 puncte
Verificați condițiile pentru aproximarea normală: np=4.5np = 4.5 și n(1−p)=10.5n(1-p)=10.5, ambele mai mari decât 5, deci puteți aproxima cu Y∼N(μ=np=4.5,σ2=np(1−p)=3.15)Y \sim N(\mu = np = 4.5, \sigma^2 = np(1-p) = 3.15).
51 punct
Aplicați corecția de continuitate și calculați probabilitatea aproximativă: P(4.5≤Y≤5.5)P(4.5 \le Y \le 5.5) folosind Z=Y−μσZ = \frac{Y - \mu}{\sigma} și comparați cu rezultatul exact.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6ProbabilitățiStatistică descriptivăMatematică aplicată
Într-un oraș, probabilitatea ca o mașină să aibă o defecțiune într-un an este de 0.050.05. Se consideră un parc auto de 200200 de mașini. Folosind distribuția binomială, aproximați probabilitatea ca în anul curent să aibă defecțiuni cel mult 1010 mașini. Se poate folosi aproximarea cu distribuția normală, dacă este cazul.
Mediu#7ProbabilitățiMatematică aplicată
Un produs electronic are un timp de viață mediu de 1000 de ore, distribuit exponențial. Dacă se achiziționează 50 de astfel de produse, care este probabilitatea ca cel puțin 30 să funcționeze mai mult de 800 de ore?
Mediu#8ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-o fabrică, probabilitatea ca un produs să fie defect este de 0.1. Se aleg la întâmplare 5 produse. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 produse să fie defecte. Dacă costul reparării fiecărui produs defect este de 50 de unități monetare, iar costul inspecției este de 10 unități monetare per produs, determinați costul așteptat total pentru acest lot de 5 produse.
Mediu#9ProbabilitățiCombinatoricăTeoria Mulțimilor
Într-o clasă sunt 30 de elevi. 18 participă la olimpiada de matematică, 12 la olimpiada de fizică, și 6 la ambele. Se aleg la întâmplare 3 elevi. a) Calculați probabilitatea ca exact 2 dintre ei să participe la olimpiada de matematică. b) Știind că cel puțin unul dintre cei 3 elevi participă la olimpiada de fizică, calculați probabilitatea ca exact 2 să participe la olimpiada de matematică.
Mediu#10ProbabilitățiCombinatorică
Într-o urnă se află 5 bile albe, 3 bile roșii și 2 bile negre. Se extrag succesiv 3 bile, fără revenire. Calculați probabilitatea ca exact două dintre bilele extrase să fie de aceeași culoare.
Mediu#11ProbabilitățiFuncția de gradul al II-leaCombinatorică
Coeficienții aa, bb, cc ai funcției f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c sunt aleși independent, fiecare din mulțimea {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}, toate alegerile fiind echiprobabile. Care este probabilitatea ca ecuația f(x)=0f(x)=0 să aibă rădăcini reale?
Mediu#12ProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Din mulțimea M={x∈N∣1≤x≤100,x este divizibil cu 3 sau cu 5}M = \{ x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 100, x \text{ este divizibil cu 3 sau cu 5} \} se aleg la întâmplare două elemente distincte. Calculați probabilitatea ca suma celor două numere să fie divizibilă cu 15.
Mediu#13ProbabilitățiAlgebră și Calcule cu Numere RealeCombinatorică
Se aruncă un zar corect de două ori. Se notează cu aa numărul de puncte de la prima aruncare și cu bb numărul de puncte de la a doua aruncare. Se formează ecuația x2−ax+b=0x^2 - ax + b = 0. Care este probabilitatea ca ecuația să aibă rădăcini reale? Dar probabilitatea ca rădăcinile să fie numere întregi?
Mediu#14ProbabilitățiProcenteCombinatorică
Într-un grup de 100 de persoane, 40% vorbesc engleza, 30% vorbesc franceza, iar 20% vorbesc ambele limbi. Se aleg la întâmplare 3 persoane din acest grup. Calculați probabilitatea ca exact două dintre persoanele alese să vorbească engleza, dar nu franceza.
Mediu#15ProbabilitățiCombinatorică
Într-o clasă sunt 12 elevi, dintre care 7 băieți și 5 fete. Se alege la întâmplare o comisie de 4 elevi. Care este probabilitatea ca în comisie să fie cel puțin 2 fete, știind că în comisie există cel puțin un băiat?

Și alte 216 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Accesează toate cele 231 probleme de Probabilități cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.