Probleme de nivel mediu de Sisteme de Ecuații Neliniare

Clasa a 9-a • 153 probleme de nivel mediu

Ușor (41)Greu (1)Toate
Mediu#1Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din prima ecuație y=2x−1y=2x-1. Se înlocuiește în a doua pentru a obține 2x−1−∣x∣−1=0⇒2x−∣x∣−2=02x-1-|x|-1=0\Rightarrow 2x-|x|-2=0.
25 puncte
Pentru x≥0x \ge 0 avem 2x−x−2=0⇒x=22x-x-2=0\Rightarrow x=2, deci y=3y=3 (verificăm x≥0x\ge0).
32 puncte
Pentru x<0x<0 avem 2x+x−2=0⇒3x−2=0⇒x=2/32x+ x -2=0\Rightarrow 3x-2=0\Rightarrow x=2/3, contradictoriu cu x<0x<0, deci niciun soluție în acest caz. Concluzie: soluția este (2,3)(2,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x∣+2∣y∣=3|x|+2|y|=3, 5y+7x=25y+7x=2

Rezolvare completă

6 puncte · 1 pas
16 puncte
Din 5y+7x=25y+7x=2 avem y=2−7x5y=\dfrac{2-7x}{5}. Înlocuiți în prima ecuație: ∣x∣+25∣2−7x∣=3|x|+\dfrac{2}{5}|2-7x|=3. Punctele critice sunt x=0x=0 și x=27x=\dfrac{2}{7}; analizați intervalele:
  • Pentru x≥27x\ge\dfrac{2}{7}: x+25(7x−2)=3⇒19x−4=15⇒x=1x+\dfrac{2}{5}(7x-2)=3\Rightarrow 19x-4=15\Rightarrow x=1, atunci y=2−75=−1y=\dfrac{2-7}{5}=-1 (valid).
  • Pentru 0≤x<270\le x<\dfrac{2}{7}: x+25(2−7x)=3⇒−9x+4=15⇒x=−119x+\dfrac{2}{5}(2-7x)=3\Rightarrow -9x+4=15\Rightarrow x=-\dfrac{11}{9} (contradicție cu x≥0x\ge0).
  • Pentru x<0x<0: −x+25(2−7x)=3⇒−19x+4=15⇒x=−1119-x+\dfrac{2}{5}(2-7x)=3\Rightarrow -19x+4=15\Rightarrow x=-\dfrac{11}{19}, atunci y=2−7x5=2319y=\dfrac{2-7x}{5}=\dfrac{23}{19} (valid).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+∣y−2∣=1|x-1|+|y-2|=1, y=3−∣x−1∣y=3-|x-1|

Rezolvare completă

6 puncte · 1 pas
16 puncte
Înlocuiți yy în prima ecuație: ∣x−1∣+∣3−∣x−1∣−2∣=1⇒∣x−1∣+∣1−∣x−1∣∣=1|x-1|+|3-|x-1|-2|=1\Rightarrow |x-1|+|1-|x-1||=1. Puneți t=∣x−1∣≥0t=|x-1|\ge0 și rezolvați t+∣1−t∣=1t+|1-t|=1:
  • Dacă 0≤t≤10\le t\le1 atunci t+(1−t)=1t+(1-t)=1, true pentru orice t∈[0,1]t\in[0,1].
  • Dacă t>1t>1 atunci t+(t−1)=1⇒t=1t+(t-1)=1\Rightarrow t=1, imposibil. Deci ∣x−1∣∈[0,1]|x-1|\in[0,1], adică x∈[0,2]x\in[0,2] și y=3−∣x−1∣y=3-|x-1|.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Sisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: xy+x+y=11xy+x+y=11, x2y+xy2=30x^2y+xy^2=30

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm xy+x+y=(x+1)(y+1)−1=11⇒(x+1)(y+1)=12xy+x+y=(x+1)(y+1)-1=11\Rightarrow (x+1)(y+1)=12. Notăm s=x+ys=x+y și u=xyu=xy. Din această relație rezultă u+s+1=12⇒u+s=11u+s+1=12\Rightarrow u+s=11.
24 puncte
A doua ecuație devine xy(x+y)=us=30xy(x+y)=u s=30. Înlocuind s=11−us=11-u obținem u(11−u)=30⇒u2−11u+30=0u(11-u)=30\Rightarrow u^2-11u+30=0, de unde u=5u=5 sau u=6u=6.
33 puncte
Dacă u=5u=5 atunci s=6s=6 și ecuația caracteristică este t2−6t+5=0t^2-6t+5=0 cu rădăcini 1,51,5, deci soluțiile (1,5)(1,5) și (5,1)(5,1). Dacă u=6u=6 atunci s=5s=5 și t2−5t+6=0t^2-5t+6=0 cu rădăcini 2,32,3, deci soluțiile (2,3)(2,3) și (3,2)(3,2). Se verifică fiecare soluție în sistem.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x2+y2+6x+2y=0,x+y+8=0x^2 + y^2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm x+y=−8x+y=-8, deci y=−8−xy=-8-x.
24 puncte
Completăm pătratele: x2+6x+y2+2y=(x+3)2+(y+1)2−10x^2+6x+y^2+2y=(x+3)^2+(y+1)^2-10, astfel ecuaţia devine (x+3)2+(y+1)2=10(x+3)^2+(y+1)^2=10. Substituind y=−8−xy=-8-x avem (x+3)2+(−7−x)2=10(x+3)^2+(-7-x)^2=10.
33 puncte
Calculăm: (x+3)2+(x+7)2=2x2+20x+58=10⇒x2+10x+24=0 (x+3)^2+(x+7)^2=2x^2+20x+58=10\Rightarrow x^2+10x+24=0, factorăm (x+4)(x+6)=0(x+4)(x+6)=0 şi obţinem x=−4x=-4 sau x=−6x=-6. Apoi y=−8−xy=-8-x dă (x,y)=(−4,−4)(x,y)=(-4,-4) şi (−6,−2)(-6,-2); verificăm în ecuaţii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați sistemul: xy+yx=136, x+y=5\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6},\ x+y=5
Mediu#7Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Rezolvați sistemul: xy−yx=56, x2−y2=5\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6},\ x^2 - y^2 = 5
Mediu#8Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x2−xy+y2=7, x+y=5x^2 - xy + y^2 = 7,\ x + y = 5
Mediu#9Sisteme de Ecuații NeliniareNumere Complexe
Rezolvați sistemul: x+3y−4+x−1y+4+16y2−16=0, 11x−3y=1\dfrac{x+3}{y-4} + \dfrac{x-1}{y+4} + \dfrac{16}{y^2-16} = 0,\ 11x-3y=1
Mediu#10Sisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: x+yx−y+x−yx+y=136,  xy=5\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{13}{6},\;xy=5
Mediu#11Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+yx−y+6⋅x−yx+y=5,  xy=2\frac{x+y}{x-y}+6\cdot\frac{x-y}{x+y}=5,\;xy=2
Mediu#12Sisteme de Ecuații NeliniareIdentități algebrice
Rezolvați sistemul: 13x−12y=13,  19x2−14y2=14\frac{1}{3x}-\frac{1}{2y}=\frac{1}{3},\;\frac{1}{9x^2}-\frac{1}{4y^2}=\frac{1}{4}
Mediu#13Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: 1x+1+1y=13,  1(x+1)2−1y2=14\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3},\;\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{1}{4}
Mediu#14Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați sistemul: 12x−y+y=−5,  y2x−y=6\frac{1}{2x-y}+y=-5,\;\frac{y}{2x-y}=6
Mediu#15Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați sistemul: 12x+y+x=3,  x2x+y=−4\frac{1}{2x+y}+x=3,\;\frac{x}{2x+y}=-4

Și alte 138 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Accesează toate cele 153 probleme de Sisteme de Ecuații Neliniare cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.