Clasa 9Algebră

Algebră și Calcule cu Numere Reale — Teorie, Formule si Exemple

Algebra și calculele cu numere reale formează baza matematicii de clasa a 9-a și sunt esențiale pentru examenul de Bacalaureat la Matematica M1. Aceste calcule — radicali, puteri, modul — apar frecvent la Subiectul I (5 puncte fiecare) și ca instrument de lucru în aproape orice problemă de la BAC. Stăpânirea simplificării radicalilor, raționalizării și ecuațiilor cu modul te ajută să eviți erorile de calcul care costă puncte prețioase.

Mulțimile de numere N, Z, Q, R și intervalele pe axa reală

Ierarhia mulțimilor numerice:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ — numerele naturale
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ — numerele întregi
$\mathbb{Q}$ — numerele raționale (fracții $\frac{p}{q}$ , $q \neq 0$ )
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ — numerele iraționale (ex: $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ )

Intervalele — subseturi ale lui

\mathbb{R}

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ (deschis)
$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ (închis)
$[a, b)$ și $(a, b]$ — semi-deschise
$(-\infty, a)$ , $(a, +\infty)$ — intervale infinite

Modulul (valoarea absolută):

|x| = \begin{cases} x & \text{dacă } x \geq 0 \\ -x & \text{dacă } x < 0 \end{cases}

usorExercițiu de bază

Determinați

|3 - 7|

și

|{-5}|

3 puncte

|3 - 7| = |-4|

. Deoarece

-4 < 0

|-4| = -(-4) = 4

2 puncte

|-5|

: deoarece

-5 < 0

|-5| = 5

mediuTip Bac, Subiectul I

Scrieți sub formă de interval mulțimea

A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \leq 3\}

3 puncte

Aplicăm proprietatea:

|x - 2| \leq 3 \Leftrightarrow -3 \leq x - 2 \leq 3

2 puncte

Adunăm

2

la toate membrele:

-1 \leq x \leq 5

, deci

A = [-1, 5]

Calcule cu radicali

Regulile fundamentale ale radicalilor (valabile pentru

a, b \geq 0

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad b > 0

\sqrt{a^2} = |a|, \quad \forall a \in \mathbb{R}

Simplificarea unui radical — scoaterea factorilor din radical:

\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}; \quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3}; \quad \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Raționalizarea — eliminarea radicalului din numitor prin conjugată:

\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}

usorTip Bac, Subiectul I

Simplificați

\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}

3 puncte

Simplificăm radicalii:

\sqrt{12} = 2\sqrt{3}

și

\sqrt{27} = 3\sqrt{3}

2 puncte

\dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5

mediuTip Bac, Subiectul I

Raționalizați

\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}

2 puncte

Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugata

\sqrt{3} - \sqrt{2}

3 puncte

\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}

Calcule cu puteri

Proprietățile puterilor (valabile pentru

a \neq 0

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

(a^m)^n = a^{mn}

(ab)^n = a^n b^n

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Legătura cu radicalii:

a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

și

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

usorExercițiu de bază

Simplificați

\dfrac{2^5 \cdot 4^2}{8^3}

2 puncte

Aducem totul la baza 2:

4 = 2^2

8 = 2^3

. Deci

4^2 = 2^4

și

8^3 = 2^9

3 puncte

\dfrac{2^5 \cdot 2^4}{2^9} = \dfrac{2^9}{2^9} = 1

mediuTip Bac, Subiectul I

Calculați

9^{\frac{3}{2}} \cdot 27^{-\frac{2}{3}}

3 puncte

Scriem bazele ca puteri:

9 = 3^2

și

27 = 3^3

. Deci

9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27

și

27^{-\frac{2}{3}} = (3^3)^{-\frac{2}{3}} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}

2 puncte

9^{\frac{3}{2}} \cdot 27^{-\frac{2}{3}} = 27 \cdot \dfrac{1}{9} = 3

Ecuații și inecuații cu modul

Proprietăți ale modulului:

|x \cdot y| = |x| \cdot |y|; \quad \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}

|x + y| \leq |x| + |y| \quad \text{(inegalitatea triunghiului)}

Rezolvarea ecuațiilor cu modul — studiu de caz pe punctele critice:

$|f(x)| = k$ : dacă $k < 0$ nu există soluții; dacă $k \geq 0$ : $f(x) = k$ sau $f(x) = -k$
$|f(x)| = g(x)$ : $f(x) = g(x)$ sau $f(x) = -g(x)$ , cu verificare

Inecuații cu modul (

a > 0

|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a

|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a \text{ sau } x \geq a

mediuTip Bac, Subiectul I

Rezolvați inecuația

|3x - 6| < 9

3 puncte

Aplicăm proprietatea

|f(x)| < a \Leftrightarrow -a < f(x) < a

: obținem

-9 < 3x - 6 < 9

2 puncte

Adunăm

6

-3 < 3x < 15

. Împărțim la

3

-1 < x < 5

. Soluția:

x \in (-1, 5)

greuTip Bac, Subiectul I

Rezolvați ecuația

|2x - 3| + |x + 1| = 6

2 puncte

Identificăm punctele critice:

2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{3}{2}

și

x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1

. Studiem 3 intervale.

1 punct

Cazul $x < -1$ :

-(2x-3) - (x+1) = 6 \Rightarrow -3x + 2 = 6 \Rightarrow x = -\tfrac{4}{3}

. Verificare:

-\tfrac{4}{3} < -1

✓

1 punct

Cazul $-1 \leq x < \tfrac{3}{2}$ :

-(2x-3) + (x+1) = 6 \Rightarrow -x + 4 = 6 \Rightarrow x = -2

. Nu aparține intervalului ✗

1 punct

Cazul $x \geq \tfrac{3}{2}$ :

(2x-3) + (x+1) = 6 \Rightarrow 3x - 2 = 6 \Rightarrow x = \tfrac{8}{3}

. Verificare:

\tfrac{8}{3} \geq \tfrac{3}{2}

✓.

S = \left\{-\dfrac{4}{3},\, \dfrac{8}{3}\right\}

Greșeli frecvente

✗

\sqrt{a^2} = a

✓

\sqrt{a^2} = |a|

Dacă

a = -3

\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|

, nu

-3

. Radicalul este întotdeauna nenegativ.

✗

\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

✓Radicalul sumei nu se descompune

Contraexemplu:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7

✗

|x| = x

(întotdeauna)

✓

|x| = x

doar dacă

x \geq 0

; dacă

x < 0

, atunci

|x| = -x > 0

Modulul este mereu nenegativ. Dacă

x

este negativ, îl face pozitiv.

✗

|x| \leq 5 \Rightarrow x \leq 5

✓

|x| \leq 5 \Leftrightarrow -5 \leq x \leq 5

Inecuația cu modul produce un interval simetric, nu o semiaxă.

Calcule cu numere reale la examenul de Bac

Calculele cu radicali apar la Subiectul I (5 puncte per exercițiu) și implicit în toate celelalte subiecte. Tipuri frecvente: simplificarea radicalilor compuși, raționalizarea expresiilor cu conjugată, calcule cu

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

Valori utile de reținut:

\sqrt{2} \approx 1{,}414

;

\sqrt{3} \approx 1{,}732

;

\sqrt{5} \approx 2{,}236

. Folosite pentru estimări și verificări rapide.

La ecuații cu modul: primul pas este întotdeauna identificarea punctelor critice (unde expresia din modul se anulează), apoi studierea fiecărui interval separat. Nu omite verificarea soluțiilor la final.

Inegalitatea AM-GM:

\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

pentru

a, b \geq 0

. Egalitatea are loc când

a = b

. Apare frecvent în demonstrații și probleme de minim/maxim.

Toate formulele pe scurt

Produsul radicalilor

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

a, b \geq 0

Se înmulțesc expresiile de sub radical.

Radical din pătrat

\sqrt{a^2} = |a|

Mereu nenegativ; nu este

a

dacă

a

poate fi negativ.

Raționalizare cu conjugată

\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}

Se elimină radicalul din numitor.

Produsul puterilor

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

La înmulțire, exponenții se adună.

Câtul puterilor

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

a \neq 0

La împărțire, exponenții se scad.

Puterea unei puteri

(a^m)^n = a^{mn}

La ridicarea la putere, exponenții se înmulțesc.

Modul — inecuație mică

|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a

a > 0

Produce un interval închis.

Modul — inecuație mare

|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a

x \geq a

Produce o reuniune de intervale.

Inegalitatea AM-GM

\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

a, b \geq 0

Media aritmetică ≥ media geometrică. Egalitate când

a = b

Capitole inrudite

Identități Algebrice Teoria Mulțimilor Ecuații Iraționale Funcția de gradul I

Exerciteaza 212 probleme de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 299 grile de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.