Clasa 9Algebră

Funcția de gradul I — Teorie, Formule si Exemple

Funcția de gradul I, definită prin f(x)=ax+bf(x) = ax + b, cu a≠0a \neq 0, este primul tip de funcție studiat în programa de clasa a 9-a. Graficul ei este o dreaptă, iar proprietățile sale — monotonie, zero, semn, paralelism, perpendicularitate — stau la baza întregii analize matematice din liceu. La examenul de Bacalaureat la Matematică M1, funcția liniară apare frecvent la Subiectul I (5 puncte) în probleme cu parametru: condiții de paralelism, perpendicularitate, trecere printr-un punct dat, semn pe un interval sau determinarea funcției inverse. Stăpânirea acestui capitol este esențială și pentru capitolele avansate (derivate, tangente, asimptote oblice) din clasele 10–12.

Definiția funcției liniare, graficul și monotonia

Funcția de gradul I este f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Graficul este o dreaptă în planul xOyxOy, complet determinată de două puncte. Panta (coeficientul unghiular) aa determină înclinarea dreptei: a=y2−y1x2−x1,x1≠x2a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_1 \neq x_2 Zeroul funcției (intersecția cu OxOx): f(x)=0⇒x0=−baf(x) = 0 \Rightarrow x_0 = -\dfrac{b}{a} Intersecția cu OyOy: f(0)=bf(0) = b, deci punctul (0,b)(0, b) aparține graficului. Monotonie:
  • a>0a > 0: funcție strict crescătoare pe R\mathbb{R}
  • a<0a < 0: funcție strict descrescătoare pe R\mathbb{R}
Ecuația dreptei prin punct și pantă: y−y0=a(x−x0)y - y_0 = a(x - x_0) unde (x0,y0)(x_0, y_0) este un punct al dreptei și aa este panta.
usorExercițiu de bază
Fie f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4. Determinați zeroul funcției, intersecția cu OyOy și monotonia.
1
3 puncte
Zeroul: f(x)=0⇒2x−4=0⇒x=2f(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. Graficul taie axa OxOx în punctul A(2,0)A(2, 0).
2
2 puncte
Intersecția cu OyOy: f(0)=2⋅0−4=−4f(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4. Punctul B(0,−4)B(0, -4).
3
2 puncte
Panta a=2>0a = 2 > 0, deci ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.
mediuExercițiu de fixare
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1,5)A(1, 5) și B(3,11)B(3, 11).
1
3 puncte
Calculăm panta: a=11−53−1=62=3a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3.
2
3 puncte
Ecuația prin punctul A(1,5)A(1, 5): y−5=3(x−1)⇒y=3x+2y - 5 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x + 2.
3
1 punct
Verificare cu B(3,11)B(3, 11): f(3)=3⋅3+2=11f(3) = 3 \cdot 3 + 2 = 11 ✓

Condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor

Condiția de paralelism: d1∥d2⇔a1=a2d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow a_1 = a_2 și b1≠b2b_1 \neq b_2 Două drepte cu aceeași pantă dar ordonată la origine diferită sunt paralele (distincte). Dacă și b1=b2b_1 = b_2, dreptele sunt confundate (identice). Condiția de perpendicularitate: d1⊥d2⇔a1⋅a2=−1d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow a_1 \cdot a_2 = -1 Produsul pantelor dreptelor perpendiculare este −1-1, adică a2=−1a1a_2 = -\dfrac{1}{a_1}. Distanța de la un punct la o dreaptă ax+by+c=0ax + by + c = 0: d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} Dreptele care trec prin același punct (x0,y0)(x_0, y_0) satisfac y0=ax0+by_0 = a x_0 + b.
mediuTip Bac, Subiectul I
Determinați ecuația dreptei paralele cu d:y=3x+1d: y = 3x + 1 care trece prin P(2,−1)P(2, -1).
1
2 puncte
Dreapta paralelă are aceeași pantă: a=3a = 3.
2
3 puncte
Ecuația prin P(2,−1)P(2, -1): y−(−1)=3(x−2)⇒y+1=3x−6⇒y=3x−7y - (-1) = 3(x - 2) \Rightarrow y + 1 = 3x - 6 \Rightarrow y = 3x - 7.
mediuExercițiu frecvent la Bac
Determinați ecuația dreptei perpendiculare pe d:y=2x+5d: y = 2x + 5 care trece prin originea O(0,0)O(0, 0).
1
3 puncte
Condiția de perpendicularitate: a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1, deci 2⋅a2=−1⇒a2=−122 \cdot a_2 = -1 \Rightarrow a_2 = -\dfrac{1}{2}.
2
2 puncte
Dreapta trece prin O(0,0)O(0, 0), deci b=0b = 0. Ecuația: y=−12xy = -\dfrac{1}{2}x.
mediuExercițiu cu parametru
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} astfel încât dreptele d1:y=(m+1)x+3d_1: y = (m+1)x + 3 și d2:y=2x−1d_2: y = 2x - 1 să fie paralele.
1
3 puncte
Condiția de paralelism: a1=a2⇒m+1=2⇒m=1a_1 = a_2 \Rightarrow m + 1 = 2 \Rightarrow m = 1.
2
2 puncte
Verificăm că dreptele nu sunt confundate: b1=3≠−1=b2b_1 = 3 \neq -1 = b_2 ✓. Deci m=1m = 1.

Semnul funcției de gradul I și rezolvarea inecuațiilor liniare

Semnul funcției f(x)=ax+bf(x) = ax + b:
  • Zeroul x0=−b/ax_0 = -b/a împarte R\mathbb{R} în două intervale
  • Dacă a>0a > 0: f(x)<0f(x) < 0 pentru x<x0x < x_0 și f(x)>0f(x) > 0 pentru x>x0x > x_0
  • Dacă a<0a < 0: inegalitățile se inversează — f(x)>0f(x) > 0 pentru x<x0x < x_0 și f(x)<0f(x) < 0 pentru x>x0x > x_0
Tabel de semn (pentru a>0a > 0): x−∞x0+∞f(x)−0+\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & \end{array} Rezolvarea inecuației ax+b>0ax + b > 0:
  • Dacă a>0a > 0: x>−b/ax > -b/a
  • Dacă a<0a < 0: x<−b/ax < -b/a (sensul inegalității se inversează la împărțire cu număr negativ)
Intersecția a două drepte: {y=a1x+b1y=a2x+b2⇒x=b2−b1a1−a2(daca˘ a1≠a2)\begin{cases} y = a_1 x + b_1 \\ y = a_2 x + b_2 \end{cases} \Rightarrow x = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2} \quad \text{(dacă } a_1 \neq a_2\text{)} Dacă a1=a2a_1 = a_2, dreptele sunt paralele (nu au punct de intersecție) sau confundate.
usorExercițiu de bază
Rezolvați inecuația 3x−6>03x - 6 > 0 și reprezentați soluția pe axa numerelor.
1
3 puncte
3x−6>0⇒3x>6⇒x>23x - 6 > 0 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2. Soluția: x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty).
2
2 puncte
Verificare: pentru x=3x = 3: 3⋅3−6=3>03 \cdot 3 - 6 = 3 > 0 ✓. Pentru x=1x = 1: 3⋅1−6=−3<03 \cdot 1 - 6 = -3 < 0 ✓.
mediuExercițiu cu semn schimbat
Rezolvați inecuația −2x+8≥0-2x + 8 \geq 0.
1
3 puncte
−2x+8≥0⇒−2x≥−8-2x + 8 \geq 0 \Rightarrow -2x \geq -8. Împărțim cu −2-2 (negativ!) și schimbăm sensul: x≤4x \leq 4.
2
2 puncte
Soluția: x∈(−∞,4]x \in (-\infty, 4]. Verificare: f(4)=−2⋅4+8=0≥0f(4) = -2 \cdot 4 + 8 = 0 \geq 0 ✓, f(0)=8≥0f(0) = 8 \geq 0 ✓.
mediuIntersecție de drepte
Determinați punctul de intersecție al dreptelor d1:y=2x+1d_1: y = 2x + 1 și d2:y=−x+7d_2: y = -x + 7.
1
3 puncte
Egalăm: 2x+1=−x+7⇒3x=6⇒x=22x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2.
2
2 puncte
y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5. Punctul de intersecție este M(2,5)M(2, 5).

Probleme cu parametru și funcția inversă

Problemele cu parametru mm cer analiza comportamentului funcției f(x)=a(m)⋅x+b(m)f(x) = a(m) \cdot x + b(m) în funcție de valoarea lui mm. Strategia generală:
  1. Identifici panta a(m)a(m) și termenul liber b(m)b(m)
  2. Scrii condiția cerută (crescătoare, descrescătoare, trecere prin punct, paralelism etc.) ca ecuație sau inecuație în mm
  3. Rezolvi și verifici restricțiile (ex. a(m)≠0a(m) \neq 0 pentru a fi funcție de gradul I)
Condiția de bijectivitate: funcția f(x)=ax+bf(x) = ax + b cu a≠0a \neq 0 este bijectivă (injectivă și surjectivă). Funcția inversă: f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a} Se obține rezolvând ecuația y=ax+by = ax + b în funcție de xx: x=y−bax = \dfrac{y - b}{a}, apoi interschimbând xx cu yy. Compunerea cu inversa: f∘f−1=f−1∘f=idRf \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id}_{\mathbb{R}}, adică (f∘f−1)(x)=x(f \circ f^{-1})(x) = x.
greuTip Bac cu parametru
Determinați valorile lui mm pentru care dreapta y=(m2−4)x+m−2y = (m^2 - 4)x + m - 2 este strict descrescătoare și nu trece prin origine.
1
1 punct
Condiția de funcție de gradul I: a=m2−4≠0⇒m≠±2a = m^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq \pm 2.
2
3 puncte
Condiția de descrescătoare: a<0⇒m2−4<0⇒(m−2)(m+2)<0⇒m∈(−2,2)a < 0 \Rightarrow m^2 - 4 < 0 \Rightarrow (m-2)(m+2) < 0 \Rightarrow m \in (-2, 2).
3
2 puncte
Condiția să nu treacă prin origine: f(0)=m−2≠0⇒m≠2f(0) = m - 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2. Deja satisfăcută pe (−2,2)(-2, 2).
4
1 punct
Răspuns final: m∈(−2,2)m \in (-2, 2).
mediuExercițiu cu inversă
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6. Calculați f−1(x)f^{-1}(x) și verificați că f(f−1(9))=9f(f^{-1}(9)) = 9.
1
3 puncte
Din y=3x−6y = 3x - 6 obținem x=y+63x = \dfrac{y + 6}{3}. Deci f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}.
2
2 puncte
f−1(9)=9+63=5f^{-1}(9) = \dfrac{9 + 6}{3} = 5. Apoi f(5)=3⋅5−6=9f(5) = 3 \cdot 5 - 6 = 9 ✓
greuTip Bac M1
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(2m−1)x+m+3f(x) = (2m - 1)x + m + 3. Determinați mm astfel încât graficul lui ff să treacă prin punctul A(1,4)A(1, 4) și funcția să fie crescătoare.
1
3 puncte
Condiția A(1,4)∈GfA(1, 4) \in G_f: f(1)=4⇒(2m−1)⋅1+m+3=4⇒3m+2=4⇒m=23f(1) = 4 \Rightarrow (2m - 1) \cdot 1 + m + 3 = 4 \Rightarrow 3m + 2 = 4 \Rightarrow m = \dfrac{2}{3}.
2
2 puncte
Verificăm monotonia: a=2m−1=2⋅23−1=13>0a = 2m - 1 = 2 \cdot \dfrac{2}{3} - 1 = \dfrac{1}{3} > 0 ✓. Funcția este crescătoare.
3
2 puncte
Funcția este f(x)=13x+113f(x) = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{11}{3}.

Greșeli frecvente la funcția de gradul I

✗
Se confundă panta aa cu termenul liber bb
✓În f(x)=ax+bf(x) = ax + b: aa este panta (coeficientul lui xx), iar bb este ordonata la origine
Panta aa controlează înclinarea dreptei (cât de „abruptă" este), iar bb este înălțimea la care dreapta taie axa OyOy.
✗
Condiție de perpendicularitate: a1=−a2a_1 = -a_2
✓Condiție de perpendicularitate: a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1
Dreptele y=2x+1y = 2x + 1 și y=−12x+3y = -\frac{1}{2}x + 3 sunt perpendiculare: 2⋅(−12)=−12 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1. Nu y=2xy = 2x și y=−2xy = -2x!
✗
Dacă a1=a2a_1 = a_2, dreptele sunt identice
✓Dacă a1=a2a_1 = a_2 și b1≠b2b_1 \neq b_2, dreptele sunt paralele (distincte); sunt identice doar dacă și b1=b2b_1 = b_2
Aceeași pantă nu înseamnă aceeași dreaptă. Exemplu: y=2x+1y = 2x + 1 și y=2x+5y = 2x + 5 au a1=a2=2a_1 = a_2 = 2, dar sunt paralele.
✗
La inecuația −2x>4-2x > 4, se scrie x>−2x > -2 (fără a schimba sensul)
✓La împărțire cu număr negativ, sensul inegalității se inversează: x<−2x < -2
Această greșeală duce la mulțimea soluție complet greșită (complementara celei corecte). Regulă: la înmulțire/împărțire cu negativ, schimbăm sensul.
✗
Se uită condiția a≠0a \neq 0 în problemele cu parametru
✓Dacă a(m)=0a(m) = 0, funcția devine constantă (f(x)=bf(x) = b), nu mai este de gradul I
Exemplu: pentru f(x)=(m−3)x+2f(x) = (m-3)x + 2, trebuie m≠3m \neq 3. Fără această verificare, se pierd puncte la BAC.

Sfaturi pentru rezolvarea problemelor la Bacalaureat

Funcția de gradul I apare la Subiectul I (5 puncte) în probleme cu parametru mm. Abordarea standard: identifici panta a(m)a(m) și termenul liber b(m)b(m), scrii condiția cerută ca ecuație/inecuație în mm, rezolvi, și nu uiți să verifici a(m)≠0a(m) \neq 0.
Reprezentarea grafică rapidă: Pentru a schița graficul, ai nevoie de doar două puncte. Cel mai simplu: calculezi zeroul x0=−b/ax_0 = -b/a (punctul de pe OxOx) și ordonata la origine f(0)=bf(0) = b (punctul de pe OyOy). Le marchezi și le unești cu o linie dreaptă.
Formulă-cheie pentru perpendicularitate: Când cerința implică perpendiculara pe o dreaptă dată, inversezi panta și schimbi semnul. Dacă dreapta dată are panta aa, perpendiculara are panta −1/a-1/a. Gândește-o ca: „inversez și schimb semnul".
Verificare rapidă la final: După ce găsești rezultatul, înlocuiește valoarea lui mm în funcția inițială și verifică: graficul trece prin punctul cerut? Funcția este crescătoare/descrescătoare cum se cere? Această verificare durează 15 secunde și poate salva 5 puncte.
Conexiuni cu alte subiecte BAC (M1): Funcția de gradul I reapare la derivate (tangenta la grafic este o funcție liniară), la asimptote oblice (y=ax+by = ax + b este asimptota oblică dacă lim⁡x→±∞[f(x)−(ax+b)]=0\lim_{x \to \pm\infty}[f(x) - (ax+b)] = 0) și la integrale (aria sub o dreaptă este trapez). Stăpânirea bazelor ajută la toate aceste capitole.

Formulele esențiale pentru funcția de gradul I

Forma generală
f(x)=ax+bf(x) = ax + b, a≠0a \neq 0
aa = pantă (coeficient unghiular); bb = ordonată la origine.
Zeroul funcției
x0=−bax_0 = -\dfrac{b}{a}
Intersecția graficului cu axa OxOx; punctul în care f(x)=0f(x) = 0.
Panta din două puncte
a=y2−y1x2−x1a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Formula pantei calculată din două puncte distincte ale dreptei.
Ecuația prin punct și pantă
y−y0=a(x−x0)y - y_0 = a(x - x_0)
Dreapta cu panta aa care trece prin punctul (x0,y0)(x_0, y_0).
Condiție de paralelism
a1=a2a_1 = a_2, b1≠b2b_1 \neq b_2
Aceeași pantă, ordonată la origine diferită.
Condiție de perpendicularitate
a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1
Produsul pantelor este −1-1; echivalent cu a2=−1/a1a_2 = -1/a_1.
Funcția inversă
f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}
Funcția de gradul I cu a≠0a \neq 0 este bijectivă, deci inversabilă.
Distanța de la punct la dreaptă
d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
Distanța de la punctul (x0,y0)(x_0, y_0) la dreapta ax+by+c=0ax + by + c = 0.

Capitole inrudite

Funcția de gradul IIGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații NeliniareDerivate

Exerciteaza 102 probleme de Funcția de gradul I

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 297 grile de Funcția de gradul I

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.