MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma delimitată de curbele de ecuații y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 și y=−x2+6x−3y = -x^2 + 6x - 3. Calculați aria terenului, exprimând rezultatul în unități pătrate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim punctele de intersecție ale curbelor rezolvând sistemul: x2−4x+5=−x2+6x−3x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 6x - 3. Obținem 2x2−10x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0, adică x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, cu soluțiile x1=1x_1 = 1 și x2=4x_2 = 4.
22 puncte
Aria se calculează cu integrala definită: A=∫14[(−x2+6x−3)−(x2−4x+5)] dx=∫14(−2x2+10x−8) dxA = \int_{1}^{4} [(-x^2 + 6x - 3) - (x^2 - 4x + 5)] \, dx = \int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx.
33 puncte
Calculăm integrala: ∫(−2x2+10x−8) dx=−23x3+5x2−8x\int (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x. Evaluăm de la 1 la 4: la x=4x=4 obținem 163\frac{16}{3}, la x=1x=1 obținem −113-\frac{11}{3}, deci A=163−(−113)=273=9A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9.
42 puncte
Interpretare: Aria terenului este de 9 unități pătrate. Într-un context real, dacă unitățile sunt metri, aria este de 9 m².

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.