MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciMatematică aplicatăSisteme de Ecuații Liniare
O companie vinde două produse, P și Q. Matricea de tranziție a preferințelor clienților între luni este T=(0.70.20.30.8)T = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}, unde TijT_{ij} este probabilitatea ca un client care a cumpărat produsul ii (cu P pentru i=1i=1, Q pentru i=2i=2) să cumpere produsul jj luna următoare. În luna curentă, 60% dintre clienți cumpără P și 40% cumpără Q. Determinați procentul clienților pentru fiecare produs după 3 luni și găsiți distribuția stabilă pe termen lung.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți vectorul inițial al distribuției: v0=(0.60.4)v_0 = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{pmatrix}.
24 puncte
Calculați distribuția după 3 luni: v3=T3v0v_3 = T^3 v_0. Mai întâi, T2=(0.70.20.30.8)2=(0.550.300.450.70)T^2 = \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0.55 & 0.30 \\ 0.45 & 0.70 \end{pmatrix}. Apoi, T3=T2⋅T=(0.550.300.450.70)(0.70.20.30.8)=(0.4750.3500.5250.650)T^3 = T^2 \cdot T = \begin{pmatrix} 0.55 & 0.30 \\ 0.45 & 0.70 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.475 & 0.350 \\ 0.525 & 0.650 \end{pmatrix}. În final, v3=(0.4750.3500.5250.650)(0.60.4)=(0.475⋅0.6+0.350⋅0.40.525⋅0.6+0.650⋅0.4)=(0.285+0.1400.315+0.260)=(0.4250.575)v_3 = \begin{pmatrix} 0.475 & 0.350 \\ 0.525 & 0.650 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.475 \cdot 0.6 + 0.350 \cdot 0.4 \\ 0.525 \cdot 0.6 + 0.650 \cdot 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.285 + 0.140 \\ 0.315 + 0.260 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.425 \\ 0.575 \end{pmatrix}. Deci, după 3 luni, 42.5% cumpără P și 57.5% cumpără Q.
33 puncte
Pentru vectorul stabil v=(xy)v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, avem Tv=vTv = v și x+y=1x + y = 1. Rezolvăm sistemul: {0.7x+0.2y=x0.3x+0.8y=yx+y=1\begin{cases} 0.7x + 0.2y = x \\ 0.3x + 0.8y = y \\ x + y = 1 \end{cases}. Din prima ecuație: 0.7x+0.2y=x⇒−0.3x+0.2y=0⇒3x=2y⇒x=23y0.7x + 0.2y = x \Rightarrow -0.3x + 0.2y = 0 \Rightarrow 3x = 2y \Rightarrow x = \frac{2}{3}y. Din x+y=1x + y = 1, înlocuim: 23y+y=1⇒53y=1⇒y=0.6\frac{2}{3}y + y = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}y = 1 \Rightarrow y = 0.6, deci x=0.4x = 0.4. Vectorul stabil este (0.40.6)\begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix}, adică pe termen lung, 40% cumpără P și 60% cumpără Q.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.