MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciMatematică aplicatăArii și volume
Un triunghi în plan are vârfurile la coordonatele A(1,2)A(1,2), B(3,4)B(3,4) și C(5,1)C(5,1). Acesta este supus unei rotații de 60∘60^\circ în jurul originii, dată de matricea R=(cos⁡60∘−sin⁡60∘sin⁡60∘cos⁡60∘)R = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix}, urmată de o scalare cu factorii 2 pe axa Ox și 3 pe axa Oy, dată de matricea S=(2003)S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. Determinați noile coordonate ale vârfurilor triunghiului transformat și calculați aria acestuia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați matricea de transformare compusă M=S⋅RM = S \cdot R. Mai întâi, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} și sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci R=(12−323212)R = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. Atunci, M=(2003)(12−323212)=(1−333232)M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \frac{3\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.
24 puncte
Aplicați transformarea fiecărui vârf: A′=M⋅(12)=(1⋅1+(−3)⋅2332⋅1+32⋅2)=(1−23332+3)A' = M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-\sqrt{3}) \cdot 2 \\ \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2\sqrt{3} \\ \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3 \end{pmatrix}, B′=M⋅(34)=(1⋅3+(−3)⋅4332⋅3+32⋅4)=(3−43932+6)B' = M \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + (-\sqrt{3}) \cdot 4 \\ \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 4\sqrt{3} \\ \frac{9\sqrt{3}}{2} + 6 \end{pmatrix}, C′=M⋅(51)=(1⋅5+(−3)⋅1332⋅5+32⋅1)=(5−31532+32)C' = M \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + (-\sqrt{3}) \cdot 1 \\ \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 5 + \frac{3}{2} \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \sqrt{3} \\ \frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} \end{pmatrix}.
33 puncte
Calculați aria triunghiului transformat folosind formula cu determinant: Aria=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣Aria = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, unde (x1,y1)=A′(x_1, y_1) = A', (x2,y2)=B′(x_2, y_2) = B', (x3,y3)=C′(x_3, y_3) = C'. Înlocuiți coordonatele: x1=1−23x_1 = 1 - 2\sqrt{3}, y1=332+3y_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3; x2=3−43x_2 = 3 - 4\sqrt{3}, y2=932+6y_2 = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 6; x3=5−3x_3 = 5 - \sqrt{3}, y3=1532+32y_3 = \frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}. Efectuați calculele: y2−y3=(932+6)−(1532+32)=−33+92y_2 - y_3 = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\right) - \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right) = -3\sqrt{3} + \frac{9}{2}, y3−y1=(1532+32)−(332+3)=63−32y_3 - y_1 = \left(\frac{15\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\right) = 6\sqrt{3} - \frac{3}{2}, y1−y2=(332+3)−(932+6)=−33−3y_1 - y_2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\right) - \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} + 6\right) = -3\sqrt{3} - 3. Apoi, x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)=(1−23)(−33+92)+(3−43)(63−32)+(5−3)(−33−3)x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = (1 - 2\sqrt{3})(-3\sqrt{3} + \frac{9}{2}) + (3 - 4\sqrt{3})(6\sqrt{3} - \frac{3}{2}) + (5 - \sqrt{3})(-3\sqrt{3} - 3). După efectuarea calculelor algebrice (se pot simplifica), se obține valoarea absolută a expresiei ca fiind 752\frac{75}{2}, deci Aria=12⋅752=754Aria = \frac{1}{2} \cdot \frac{75}{2} = \frac{75}{4} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.