MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorMatematică aplicată
Un rezervor cilindric vertical are raza bazei R=2R = 2 m și înălțimea H=5H = 5 m. Rezervorul este umplut cu apă, care curge printr-un orificiu din fund cu viteza v=khv = k\sqrt{h}, unde hh este înălțimea apei, iar kk este constantă. Dacă la t=0t=0, h=5h=5 m, iar după t=10t=10 minute, h=4h=4 m, determinați timpul TT necesar pentru ca rezervorul să se golească complet (h=0h=0).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți ecuația diferențială pentru scăderea înălțimii: dhdt=−αh\frac{dh}{dt} = -\alpha \sqrt{h}, unde α=k4π\alpha = \frac{k}{4\pi} (deoarece volumul este V=4πhV = 4\pi h).
23 puncte
Rezolvați ecuația prin integrare: ∫dhh=−α∫dt⇒2h=−αt+C\int \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\alpha \int dt \Rightarrow 2\sqrt{h} = -\alpha t + C.
32 puncte
Determinați constantele folosind condițiile: la t=0t=0, h=5h=5 dă C=25C = 2\sqrt{5}; la t=10t=10, h=4h=4 dă α=5−25\alpha = \frac{\sqrt{5} - 2}{5}.
42 puncte
Pentru h=0h=0, rezolvați 0=−αT+250 = -\alpha T + 2\sqrt{5} pentru a obține T=50+205T = 50 + 20\sqrt{5} minute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.