MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(a12a)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui aa pentru care matricea AA este inversabilă. b) Pentru a=3a=3, calculați inversa matricei AA. c) Rezolvați ecuația matriceală A2X=I2A^2 X = I_2, unde I2I_2 este matricea identitate de ordinul 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculul determinantului det⁡(A)=a2−2\det(A) = a^2 - 2. Condiția de inversabilitate: det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci a≠±2a \neq \pm\sqrt{2}.
24 puncte
Pentru a=3a=3, det⁡(A)=7\det(A)=7. Inversa se calculează: A−1=17(3−1−23)A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.
34 puncte
Din A2X=I2A^2 X = I_2, obținem X=(A2)−1X = (A^2)^{-1}. Pentru a=3a=3, A2=(1161213)A^2 = \begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 13 \end{pmatrix}, cu det⁡(A2)=47\det(A^2)=47, deci X=147(13−6−1211)X = \frac{1}{47} \begin{pmatrix} 13 & -6 \\ -12 & 11 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.