MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciIdentități algebrice
Demonstrați că pentru orice matrice pătratică AA și BB de același ordin care comută (AB=BAAB = BA), are loc egalitatea (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3. Apoi, pentru matricele A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, verificați dacă comută și calculați (A+B)3(A+B)^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrarea formulei: (A+B)3=(A+B)(A+B)2=(A+B)(A2+AB+BA+B2)(A+B)^3 = (A+B)(A+B)^2 = (A+B)(A^2 + AB + BA + B^2). Dacă AB=BAAB=BA, atunci se simplifică la A3+3A2B+3AB2+B3A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3.
23 puncte
Verificarea comutativității: AB=(1111)AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, BA=(1111)BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, deci AB=BAAB=BA.
34 puncte
Calculul (A+B)3(A+B)^3: A+B=(2112)A+B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, (A+B)2=(5445)(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, (A+B)3=(14131314)(A+B)^3 = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.