MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatrici
Fie matricea A=(1−123)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. a) Verificați că A2−4A+5I=OA^2 - 4A + 5I = O, unde II este matricea identitate de ordinul 2 și OO este matricea nulă. b) Utilizați această relație pentru a determina A−1A^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculul lui A2A^2: A2=(1−123)⋅(1−123)=(1⋅1+(−1)⋅21⋅(−1)+(−1)⋅32⋅1+3⋅22⋅(−1)+3⋅3)=(−1−487)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}. Atunci A2−4A+5I=(−1−487)−4(1−123)+5(1001)=(−1−4+5−4+4+08−8+07−12+5)=(0000)=OA^2 - 4A + 5I = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-4+5 & -4+4+0 \\ 8-8+0 & 7-12+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O.
26 puncte
Din A2−4A+5I=OA^2 - 4A + 5I = O, obținem A2−4A=−5IA^2 - 4A = -5I. Factorizând: A(A−4I)=−5IA(A - 4I) = -5I. Înmulțind cu −15-\frac{1}{5}: A⋅(−15(A−4I))=IA \cdot \left(-\frac{1}{5}(A - 4I)\right) = I. Deci A−1=−15(A−4I)A^{-1} = -\frac{1}{5}(A - 4I). Calculăm A−4I=(1−123)−(4004)=(−3−12−1)A - 4I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. Atunci A−1=−15(−3−12−1)=(3515−2515)A^{-1} = -\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.