MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=42x+ky+z=5−x+y+3z=m\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x + ky + z = 5 \\ -x + y + 3z = m \end{cases}, unde kk și mm sunt numere reale. a) Scrieți matricea extinsă a sistemului. b) Determinați valorile lui kk și mm pentru care sistemul este compatibil. c) Pentru k=1k=1 și m=2m=2, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Matricea extinsă este (12−1∣42k1∣5−113∣m)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 2 & k & 1 & | & 5 \\ -1 & 1 & 3 & | & m \end{pmatrix}.
24 puncte
Aplicăm operații elementare: L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, L3←L3+L1L_3 \leftarrow L_3 + L_1, obținem (12−1∣40k−43∣−3032∣m+4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & k-4 & 3 & | & -3 \\ 0 & 3 & 2 & | & m+4 \end{pmatrix}. Pentru compatibilitate, rangul matricei coeficienților trebuie să fie egal cu rangul matricei extinse. Analizăm: dacă k≠1k \neq 1, matricea coeficienților are rangul 3, deci sistemul este compatibil pentru orice mm. Dacă k=1k=1, matricea devine (12−10−33032)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}; verificăm dacă m+4m+4 satisface condiția de consistență.
33 puncte
Pentru k=1k=1 și m=2m=2, sistemul devine {x+2y−z=4−3y+3z=−33y+2z=6\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ -3y + 3z = -3 \\ 3y + 2z = 6 \end{cases}. Din a doua ecuație, y=z+1y = z + 1. Înlocuind în a treia, obținem 3(z+1)+2z=6⇒5z=3⇒z=353(z+1) + 2z = 6 \Rightarrow 5z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{5}, apoi y=85y = \frac{8}{5} și x=4−2⋅85+35=15x = 4 - 2 \cdot \frac{8}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.