MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Fie matricea M=(k101k101k)M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui kk pentru care det⁡(M)=0\det(M) = 0. b) Pentru k=2k=2, calculați M−1M^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului lui MM: det⁡(M)=k⋅det⁡(k11k)−1⋅det⁡(110k)+0⋅det⁡(1k01)=k(k2−1)−1⋅k=k3−k−k=k3−2k\det(M) = k \cdot \det\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & k \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = k(k^2 - 1) - 1 \cdot k = k^3 - k - k = k^3 - 2k.
22 puncte
Rezolvarea ecuației det⁡(M)=0\det(M)=0: k3−2k=0⇒k(k2−2)=0⇒k=0,k=2,k=−2k^3 - 2k = 0 \Rightarrow k(k^2 - 2)=0 \Rightarrow k=0, k=\sqrt{2}, k=-\sqrt{2}.
35 puncte
Pentru k=2k=2, det⁡(M)=23−2⋅2=8−4=4\det(M)=2^3 - 2 \cdot 2 = 8-4=4. Matricea adjunctă: complementele algebrice: C11=3C_{11} = 3, C12=−2C_{12} = -2, C13=1C_{13} = 1, C21=−2C_{21} = -2, C22=4C_{22} = 4, C23=−2C_{23} = -2, C31=1C_{31} = 1, C32=−2C_{32} = -2, C33=3C_{33} = 3. Atunci adj(M)=(3−21−24−21−23)\text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}. Deci M−1=14⋅adj(M)=(34−1214−121−1214−1234)M^{-1} = \frac{1}{4} \cdot \text{adj}(M) = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.