MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar folosind metoda matricelor: {x+my+z=2mx+y+mz=1x+y+mz=3\begin{cases} x + my + z = 2 \\ mx + y + mz = 1 \\ x + y + mz = 3 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Discutați compatibilitatea sistemului în funcție de mm și, pentru cazurile în care sistemul este compatibil determinat, găsiți soluția în funcție de mm.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți matricea coeficienților B=(1m1m1m11m)B = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & m \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și matricea extinsă B~=(1m1∣2m1m∣111m∣3)\tilde{B} = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 & | & 2 \\ m & 1 & m & | & 1 \\ 1 & 1 & m & | & 3 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculați determinantul matricei BB: det⁡(B)=1⋅∣1m1m∣−m⋅∣mm1m∣+1⋅∣m111∣=1(m−m)−m(m2−m)+(m−1)=−m3+m2+m−1=−(m−1)2(m+1)\det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix} - m \cdot \begin{vmatrix} m & m \\ 1 & m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(m - m) - m(m^2 - m) + (m - 1) = -m^3 + m^2 + m - 1 = -(m-1)^2(m+1).
33 puncte
Discutați compatibilitatea: Dacă det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0, adică m≠1m \neq 1 și m≠−1m \neq -1, sistemul este compatibil determinat (conform teoremei lui Cramer). Pentru m=1m=1: sistemul devine {x+y+z=2x+y+z=1x+y+z=3\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 3 \end{cases}, care este incompatibil deoarece ecuațiile sunt contradictorii. Pentru m=−1m=-1: sistemul devine {x−y+z=2−x+y−z=1x+y−z=3\begin{cases} x - y + z = 2 \\ -x + y - z = 1 \\ x + y - z = 3 \end{cases}; adunând primele două ecuații, se obține 0=30=3, deci sistemul este incompatibil.
42 puncte
Pentru m≠1,−1m \neq 1, -1, sistemul este compatibil determinat. Soluția se poate găsi folosind formula X=B−1⋅CX = B^{-1} \cdot C, unde C=(213)C = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, sau regula lui Cramer. De exemplu, pentru m=0m=0: B=(101010110)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, det⁡(B)=−1\det(B) = -1, și soluția este x=1,y=1,z=1x=1, y=1, z=1. În general, pentru m≠1,−1m \neq 1, -1, soluțiile sunt: x=∣2m111m31m∣det⁡(B)x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \\ 3 & 1 & m \end{vmatrix}}{\det(B)}, y=∣121m1m13m∣det⁡(B)y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ m & 1 & m \\ 1 & 3 & m \end{vmatrix}}{\det(B)}, z=∣1m2m11113∣det⁡(B)z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m & 2 \\ m & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}}{\det(B)}. Calculați acești determinanți pentru a exprima soluția în funcție de mm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.