MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind matricea inversă: {3x−2y+z=5x+y−2z=−32x−y+3z=8\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + y - 2z = -3 \\ 2x - y + 3z = 8 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrierea sub formă matriceală: A=(3−2111−22−13)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(5−38)B = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}, deci AX=BAX = B.
24 puncte
Calculul determinantului lui AA: det⁡(A)=3⋅(1⋅3−(−2)⋅(−1))−(−2)⋅(1⋅3−(−2)⋅2)+1⋅(1⋅(−1)−1⋅2)=3⋅(3−2)+2⋅(3+4)+1⋅(−1−2)=3+14−3=14≠0\det(A) = 3 \cdot (1\cdot3 - (-2)\cdot(-1)) - (-2) \cdot (1\cdot3 - (-2)\cdot2) + 1 \cdot (1\cdot(-1) - 1\cdot2) = 3 \cdot (3-2) + 2 \cdot (3+4) + 1 \cdot (-1-2) = 3 + 14 - 3 = 14 \neq 0, deci AA este inversabilă.
34 puncte
Calculul inversei: A−1=114(153−777−3−15)A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -7 & 7 & 7 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}. Rezolvarea: X=A−1B=114(153−777−3−15)(5−38)=(102)X = A^{-1}B = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -7 & 7 & 7 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.