MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind inversa matricei coeficienților: {2x+y−z=3x−y+2z=−13x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = -1 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrieți sistemul sub forma matriceală AX=BAX = B, unde A=(21−11−12321)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(3−14)B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}.
25 puncte
Calculați inversa matricei AA, A−1A^{-1}. Mai întâi, calculați determinantul: det⁡(A)=2⋅∣−1221∣−1⋅∣1231∣+(−1)⋅∣1−132∣=2⋅((−1)⋅1−2⋅2)−1⋅(1⋅1−2⋅3)−1⋅(1⋅2−(−1)⋅3)=2⋅(−5)−1⋅(−5)−5=−10\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot ((-1)\cdot1 - 2\cdot2) - 1 \cdot (1\cdot1 - 2\cdot3) - 1 \cdot (1\cdot2 - (-1)\cdot3) = 2 \cdot (-5) - 1 \cdot (-5) - 5 = -10. Apoi, calculați matricea adjunctă. Cofactorii: C11=+∣−1221∣=−5C_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -5, C12=−∣1231∣=5C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 5, C13=+∣1−132∣=5C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5, C21=−∣1−121∣=−3C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3, C22=+∣2−131∣=5C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 5, C23=−∣2132∣=−1C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1, C31=+∣1−1−12∣=1C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1, C32=−∣2−112∣=−5C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -5, C33=+∣211−1∣=−3C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3. Matricea cofactore este (−555−35−11−5−3)\begin{pmatrix} -5 & 5 & 5 \\ -3 & 5 & -1 \\ 1 & -5 & -3 \end{pmatrix}, iar adjuncta este transpusa acesteia: adj(A)=(−5−3155−55−1−3)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -5 & -3 & 1 \\ 5 & 5 & -5 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix}. Atunci A−1=1det⁡(A)adj(A)=−110(−5−3155−55−1−3)=(12310−110−12−1212−12110310)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{10} \begin{pmatrix} -5 & -3 & 1 \\ 5 & 5 & -5 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{pmatrix}.
33 puncte
Calculați X=A−1B=(12310−110−12−1212−12110310)(3−14)=(12⋅3+310⋅(−1)+(−110)⋅4(−12)⋅3+(−12)⋅(−1)+12⋅4(−12)⋅3+110⋅(−1)+310⋅4)=(12−1)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot3 + \frac{3}{10}\cdot(-1) + (-\frac{1}{10})\cdot4 \\ (-\frac{1}{2})\cdot3 + (-\frac{1}{2})\cdot(-1) + \frac{1}{2}\cdot4 \\ (-\frac{1}{2})\cdot3 + \frac{1}{10}\cdot(-1) + \frac{3}{10}\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}. Soluția sistemului este x=1,y=2,z=−1x=1, y=2, z=-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.