MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră matricea M=(12−12−13310)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} și vectorul b=(412)b = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}. Scrieți sistemul liniar asociat Mx=bMx = b și determinați dacă este compatibil. Calculați determinantul lui MM și, dacă este posibil, găsiți inversa matricei MM. Apoi, pentru matricea Mk=(12−12−1331k)M_k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & k \end{pmatrix}, cu kk real, determinați valorile lui kk pentru care MkM_k nu este inversabilă și discutați compatibilitatea sistemului Mkx=bM_k x = b în aceste cazuri.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului {x1+2x2−x3=42x1−x2+3x3=13x1+x2=2\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \\ 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 = 2 \end{cases} și calculul det⁡(M)=1⋅(−1)⋅0+2⋅3⋅3+(−1)⋅2⋅1−(−1)⋅(−1)⋅3−2⋅2⋅0−1⋅3⋅1=0+18−2−3−0−3=10\det(M) = 1\cdot(-1)\cdot0 + 2\cdot3\cdot3 + (-1)\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot(-1)\cdot3 - 2\cdot2\cdot0 - 1\cdot3\cdot1 = 0 + 18 - 2 - 3 - 0 - 3 = 10, deci sistemul este compatibil determinat;
23 puncte
Deoarece det⁡(M)=10≠0\det(M) = 10 \neq 0, MM este inversabilă, și găsirea inversei prin adjucată sau reducere, de exemplu M−1=110(−3159−3−55−5−5)M^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} -3 & 1 & 5 \\ 9 & -3 & -5 \\ 5 & -5 & -5 \end{pmatrix};
32 puncte
Rezolvarea sistemului Mx=bMx = b prin x=M−1b=110(−3159−3−55−5−5)(412)=110(−12+1+1036−3−1020−5−10)=(−0.12.30.5)x = M^{-1}b = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} -3 & 1 & 5 \\ 9 & -3 & -5 \\ 5 & -5 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} -12+1+10 \\ 36-3-10 \\ 20-5-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.1 \\ 2.3 \\ 0.5 \end{pmatrix} sau forme echivalente;
43 puncte
Calculul det⁡(Mk)=1⋅(−1)⋅k+2⋅3⋅3+(−1)⋅2⋅1−(−1)⋅(−1)⋅3−2⋅2⋅k−1⋅3⋅1=−k+18−2−3−4k−3=−5k+10\det(M_k) = 1\cdot(-1)\cdot k + 2\cdot3\cdot3 + (-1)\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot(-1)\cdot3 - 2\cdot2\cdot k - 1\cdot3\cdot1 = -k + 18 - 2 - 3 - 4k - 3 = -5k + 10, deci MkM_k este singulară pentru k=2k = 2. Pentru k=2k = 2, matricea extinsă este (12−142−1313122)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}; reducerea la forma eșalon arată că sistemul este incompatibil deoarece ultima ecuație devine contradictorie, de exemplu 0x3=−50x_3 = -5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.