MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(2101a1012)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui aa pentru care matricea AA este inversabilă. b) Pentru a=0a=0, calculați inversa matricei AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=2⋅∣a112∣−1⋅∣1102∣+0⋅∣1a01∣=2(2a−1)−2=4a−4=4(a−1)\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(2a - 1) - 2 = 4a - 4 = 4(a-1).
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci a≠1a \neq 1.
34 puncte
Pentru a=0a=0, A=(210101012)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} și det⁡(A)=4(0−1)=−4\det(A) = 4(0-1) = -4. Calculați inversa folosind formula A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A). Matricea adjunctă se obține din complementele algebrice: C11=∣0112∣=−1C_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1, C12=−∣1102∣=−2C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2, C13=∣1001∣=1C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C21=−∣1012∣=−2C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2, C22=∣2002∣=4C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4, C23=−∣2101∣=−2C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2, C31=∣1001∣=1C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C32=−∣2011∣=−2C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2, C33=∣2110∣=−1C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1. Matricea cofactorilor este (−1−21−24−21−2−1)\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}, iar adjuncta este transpusa acesteia: adj(A)=(−1−21−24−21−2−1)T=(−1−21−24−21−2−1)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} (matrice simetrică). Așadar, A−1=1−4(−1−21−24−21−2−1)=(1412−1412−112−141214)A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.