MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Se consideră matricea A=(a101a101a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care AA este inversabilă și, pentru a=1a=1, calculați inversa A−1A^{-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=a(a2−1)−1(a−0)+0=a3−2a\det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a - 0) + 0 = a^3 - 2a.
23 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci a3−2a≠0⇒a(a2−2)≠0a^3 - 2a \neq 0 \Rightarrow a(a^2 - 2) \neq 0, adică a≠0a \neq 0 și a≠±2a \neq \pm \sqrt{2}.
34 puncte
Pentru a=1a=1, det⁡(A)=−1\det(A) = -1. Se calculează matricea adjunctă: adj(A)=(a2−1−a1−aa2−a1−aa2−1)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} a^2 -1 & -a & 1 \\ -a & a^2 & -a \\ 1 & -a & a^2 -1 \end{pmatrix}, iar pentru a=1a=1, adj(A)=(0−11−11−11−10)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. Atunci A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)=−1⋅(0−11−11−11−10)=(01−11−11−110)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = -1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.