MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(2−134)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. Calculați A2A^2, A3A^3 și determinați o formulă pentru AnA^n unde nn este un număr natural pozitiv. Apoi, arătați că AA este inversabilă și găsiți inversa ei. În final, rezolvați ecuația matriceală AX=BAX = B cu B=(51−23)B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul lui A2=(2−134)(2−134)=(1−61813)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 18 & 13 \end{pmatrix} și A3=A2⋅A=(1−61813)(2−134)=(−16−257534)A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 18 & 13 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 & -25 \\ 75 & 34 \end{pmatrix};
23 puncte
Observarea pattern-ului sau utilizarea diagonalizării pentru a deduce An=(5n+(−1)n2−5n−(−1)n35n−(−1)n25n+(−1)n2)A^n = \begin{pmatrix} \frac{5^n + (-1)^n}{2} & -\frac{5^n - (-1)^n}{3} \\ \frac{5^n - (-1)^n}{2} & \frac{5^n + (-1)^n}{2} \end{pmatrix} sau o formulă similară, cu justificare;
33 puncte
Calculul determinantului det⁡(A)=2⋅4−(−1)⋅3=11≠0\det(A) = 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 3 = 11 \neq 0, deci AA este inversabilă, și găsirea inversei A−1=111(41−32)A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix};
42 puncte
Rezolvarea AX=BAX = B prin X=A−1B=111(41−32)(51−23)=111(187−193)X = A^{-1}B = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 18 & 7 \\ -19 & 3 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.