MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Fie matricea A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Determinați AnA^n pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și calculați A2023A^{2023}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați valorile proprii și vectorii proprii ai matricei A. Ecuația caracteristică: det⁡(A−λI)=(2−λ)2−1=λ2−4λ+3=0\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, deci λ1=3\lambda_1 = 3 și λ2=1\lambda_2 = 1. Vectorii proprii: pentru λ1=3\lambda_1 = 3, rezolvăm (A−3I)v=0(A-3I)v = 0 și obținem v1=(11)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}; pentru λ2=1\lambda_2 = 1, v2=(1−1)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
23 puncte
Diagonalizați matricea A sub forma A=PDP−1A = PDP^{-1}. Fie P=(111−1)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} și D=(3001)D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Atunci P−1=12(111−1)P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
32 puncte
Exprimați AnA^n folosind diagonalizarea. An=PDnP−1=12(111−1)(3n001n)(111−1)=12(3n+13n−13n−13n+1)A^n = PD^n P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & 1^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + 1 & 3^n - 1 \\ 3^n - 1 & 3^n + 1 \end{pmatrix}.
42 puncte
Calculați A2023A^{2023}. Înlocuiți n = 2023: A2023=12(32023+132023−132023−132023+1)A^{2023} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^{2023} + 1 & 3^{2023} - 1 \\ 3^{2023} - 1 & 3^{2023} + 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.