MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie matricea B=(1ab1)B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine condițiile pentru care BB este inversabilă și să se exprime B−1B^{-1} în funcție de aa și bb. Apoi, folosind matricea inversă, să se rezolve sistemul liniar {x+ay=3bx+y=2\begin{cases} x + a y = 3 \\ b x + y = 2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condiția de inversabilitate: det⁡(B)=1−ab≠0\det(B) = 1 - ab \neq 0, deci ab≠1ab \neq 1;
23 puncte
Calculați inversa: B−1=11−ab(1−a−b1)B^{-1} = \frac{1}{1-ab} \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -b & 1 \end{pmatrix}, pentru ab≠1ab \neq 1;
33 puncte
Scrieți sistemul sub formă matricială: B(xy)=(32)B \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix};
42 puncte
Rezolvați: (xy)=B−1(32)=11−ab(1−a−b1)(32)=11−ab(3−2a−3b+2)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = B^{-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1-ab} \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1-ab} \begin{pmatrix} 3 - 2a \\ -3b + 2 \end{pmatrix}, deci x=3−2a1−abx = \frac{3-2a}{1-ab} și y=2−3b1−aby = \frac{2-3b}{1-ab}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.