MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră sistemul liniar {(m+1)x+2y−z=1x+my+z=03x−y+(m−1)z=2\begin{cases} (m+1)x + 2y - z = 1 \\ x + my + z = 0 \\ 3x - y + (m-1)z = 2 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Studiați compatibilitatea sistemului în funcție de parametrul mm și, în caz de compatibilitate, rezolvați-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului sub formă matriceală: Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}, cu A=(m+12−11m13−1m−1)A = \begin{pmatrix} m+1 & 2 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & -1 & m-1 \end{pmatrix}, x=(xyz)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, b=(102)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}. \n
23 puncte
Calculul determinantului matricei AA: det⁡(A)=m3−m2−4m+4\det(A) = m^3 - m^2 - 4m + 4. Factorizare: det⁡(A)=(m−1)(m2−4)=(m−1)(m−2)(m+2)\det(A) = (m-1)(m^2 - 4) = (m-1)(m-2)(m+2). \n
32 puncte
Stabilirea valorilor lui mm pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0: m=1m = 1, m=2m = 2, m=−2m = -2. \n
43 puncte
Discuția compatibilității și rezolvarea: pentru m∉{1,2,−2}m \notin \{1, 2, -2\}, sistemul are soluție unică; se calculează folosind metoda lui Cramer sau inversa. Pentru m=1m = 1, sistemul este incompatibil. Pentru m=2m = 2 și m=−2m = -2, sistemul are o infinitate de soluții; se determină mulțimea soluțiilor în funcție de un parametru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.