MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {(k+1)x+2y=34x+(k−1)y=6\begin{cases} (k+1)x + 2y = 3 \\ 4x + (k-1)y = 6 \end{cases}, unde kk este un parametru real. Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică și, înc acest caz, găsiți soluția folosind metoda matriceală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți sistemul sub formă matriceală: (k+124k−1)(xy)=(36)\begin{pmatrix} k+1 & 2 \\ 4 & k-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculați determinantul matricei coeficienților: Δ=(k+1)(k−1)−8=k2−1−8=k2−9\Delta = (k+1)(k-1) - 8 = k^2 - 1 - 8 = k^2 - 9. Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică k≠±3k \neq \pm 3.
33 puncte
Pentru k≠±3k \neq \pm 3, găsiți inversa matricei coeficienților: A−1=1Δ(k−1−2−4k+1)=1k2−9(k−1−2−4k+1)A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} k-1 & -2 \\ -4 & k+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{k^2-9} \begin{pmatrix} k-1 & -2 \\ -4 & k+1 \end{pmatrix}.
42 puncte
Soluția sistemului este (xy)=A−1(36)=1k2−9((k−1)⋅3+(−2)⋅6(−4)⋅3+(k+1)⋅6)=1k2−9(3k−156k−6)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{k^2-9} \begin{pmatrix} (k-1) \cdot 3 + (-2) \cdot 6 \\ (-4) \cdot 3 + (k+1) \cdot 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{k^2-9} \begin{pmatrix} 3k-15 \\ 6k-6 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.