MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Să se calculeze inversa matricei A=(210−10111−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} și să se verifice că A⋅A−1=I3A \cdot A^{-1} = I_3, unde I3I_3 este matricea identitate de ordinul 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculați determinantul lui A: det⁡(A)=2⋅(0⋅(−1)−1⋅1)−1⋅(−1⋅(−1)−1⋅1)+0⋅(−1⋅1−0⋅1)=2⋅(−1)−1⋅(1−1)+0=−2\det(A) = 2 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (-1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + 0 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 2 \cdot (-1) - 1 \cdot (1 - 1) + 0 = -2;
25 puncte
Aflați matricea adjunctă: calculați complementele algebrice și transpuneți pentru a obține adj(A)=(−1110−2−2−1−11)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix};
33 puncte
Obțineți inversa: A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)=−12(−1110−2−2−1−11)=(12−12−120111212−12)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} și verificați prin înmulțire că A⋅A−1=I3A \cdot A^{-1} = I_3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.