MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie matricea A=(21−10321−11)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. Calculați inversa matricei AA, dacă există, și rezolvați sistemul de ecuații A⋅X=BA \cdot X = B, unde B=(10−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=2⋅(3⋅1−2⋅(−1))−1⋅(0⋅1−2⋅1)+(−1)⋅(0⋅(−1)−3⋅1)=2⋅(3+2)−1⋅(0−2)−1⋅(0−3)=2⋅5−1⋅(−2)−1⋅(−3)=10+2+3=15≠0\det(A) = 2 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - 1 \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + (-1) \cdot (0 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = 2 \cdot (3 + 2) - 1 \cdot (0 - 2) - 1 \cdot (0 - 3) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-3) = 10 + 2 + 3 = 15 \neq 0, deci matricea este inversabilă.
24 puncte
Se calculează inversa matricei AA folosind metoda complementelor algebrice sau eliminare gaussiană. A−1=115(50−523−4−336)A^{-1} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 2 & 3 & -4 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}.
34 puncte
Soluția sistemului este X=A−1⋅B=115(50−523−4−336)⋅(10−1)=115(5⋅1+0⋅0+(−5)⋅(−1)2⋅1+3⋅0+(−4)⋅(−1)(−3)⋅1+3⋅0+6⋅(−1))=115(5+52+4−3−6)=115(106−9)=(2325−35)X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 2 & 3 & -4 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-5) \cdot (-1) \\ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-4) \cdot (-1) \\ (-3) \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 + 5 \\ 2 + 4 \\ -3 - 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{5} \\ -\frac{3}{5} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.