GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} continuă și I=∫01f(x)dxI = \int_0^1 f(x) dx. Demonstrați că există c∈(0,1)c \in (0,1) astfel încât ∫01xf(x)dx=f(c)∫01xdx\int_0^1 x f(x) dx = f(c) \int_0^1 x dx. Apoi, aplicați rezultatul pentru a demonstra că dacă ff este strict crescătoare, atunci ∫01xf(x)dx≥12∫01f(x)dx\int_0^1 x f(x) dx \geq \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Considerăm funcția g(x)=∫0xtf(t)dt−x22⋅11∫01f(t)dtg(x) = \int_0^x t f(t) dt - \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1} \int_0^1 f(t) dt. Derivata: g′(x)=xf(x)−x∫01f(t)dtg'(x) = x f(x) - x \int_0^1 f(t) dt
22 puncte
Teorema lui Rolle: g(0)=0g(0) = 0, g(1)=∫01tf(t)dt−12∫01f(t)dtg(1) = \int_0^1 t f(t) dt - \frac{1}{2} \int_0^1 f(t) dt. Dacă g(1)=0g(1) = 0, atunci concluzia este imediată cu c=1c=1. Altfel, există c∈(0,1)c \in (0,1) cu g′(c)=0g'(c)=0, adică cf(c)=c∫01f(t)dtc f(c) = c \int_0^1 f(t) dt, deci f(c)=∫01f(t)dtf(c) = \int_0^1 f(t) dt
32 puncte
Corectare: Funcția corectă este h(x)=∫0xtf(t)dt−x22∫01f(t)dth(x) = \int_0^x t f(t) dt - \frac{x^2}{2} \int_0^1 f(t) dt. Atunci h(0)=0h(0)=0, h(1)=∫01tf(t)dt−12∫01f(t)dth(1)=\int_0^1 t f(t) dt - \frac{1}{2} \int_0^1 f(t) dt. Dacă h(1)=0h(1)=0, gata. Altfel, teorema lui Rolle dă h′(c)=0h'(c)=0, adică cf(c)=c∫01f(t)dtc f(c) = c \int_0^1 f(t) dt, deci f(c)=∫01f(t)dtf(c) = \int_0^1 f(t) dt
42 puncte
Pentru ff strict crescătoare, f(c)≥f(0)f(c) \geq f(0) și ∫01f(t)dt≥f(0)\int_0^1 f(t) dt \geq f(0), dar nu ajută direct. Folosim: ∫01xf(x)dx≥∫01xf(0)dx=12f(0)\int_0^1 x f(x) dx \geq \int_0^1 x f(0) dx = \frac{1}{2} f(0) și ∫01f(x)dx≤f(1)\int_0^1 f(x) dx \leq f(1), dar nu este suficient
52 puncte
Soluție corectă: Din teorema de medie, există cc cu ∫01xf(x)dx=f(c)∫01xdx=12f(c)\int_0^1 x f(x) dx = f(c) \int_0^1 x dx = \frac{1}{2} f(c). Dar ff crescătoare implică f(c)≥f(0)f(c) \geq f(0) și ∫01f(x)dx≤f(1)\int_0^1 f(x) dx \leq f(1), dar nu direct. Folosim inegalitatea Chebyshev: pentru ff crescătoare și g(x)=xg(x)=x crescătoare, ∫01f(x)g(x)dx≥∫01f(x)dx∫01g(x)dx=12∫01f(x)dx\int_0^1 f(x)g(x) dx \geq \int_0^1 f(x) dx \int_0^1 g(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.