GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(123045006)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(ATA−1)\det(A^T A^{-1}). b) Determinați toate matricele XX care comută cu AA (adică AX=XAAX = XA). c) Folosind teorema Cayley-Hamilton, calculați A2024A^{2024} modulo 7.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
det⁡(A)=1⋅4⋅6=24\det(A) = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 24, det⁡(AT)=24\det(A^T) = 24, det⁡(A−1)=1/24\det(A^{-1}) = 1/24, deci det⁡(ATA−1)=24⋅(1/24)=1\det(A^T A^{-1}) = 24 \cdot (1/24) = 1.
23 puncte
Matricele care comută cu AA sunt de forma X=(abc0de00f)X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}, cu a,b,c,d,e,f∈Ra, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}, rezultat din rezolvarea sistemului AX=XAAX = XA.
33 puncte
Polinomul caracteristic: pA(λ)=(λ−1)(λ−4)(λ−6)p_A(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-6). Din Cayley-Hamilton, A3−11A2+34A−24I=OA^3 - 11A^2 + 34A - 24I = O. Se reduce A2024A^{2024} modulo 7 folosind această relație și calculând restul împărțirii polinomului λ2024\lambda^{2024} la pA(λ)p_A(\lambda) modulo 7.
42 puncte
Se obține A2024≡(123045006)2024mod  7A^{2024} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}^{2024} \mod 7, și folosind proprietăți de congruență, rezultatul final este o matrice calculată explicit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.