GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Un dreptunghi are vârfurile pe parabola y=x2y = x^2 și pe dreapta y=4y = 4, cu laturile paralele cu axele de coordonate. a) Exprimați aria dreptunghiului în funcție de abscisa xx a unui vârf de pe parabolă. b) Determinați dreptunghiul de arie maximă. c) Demonstrați că pentru orice astfel de dreptunghi, raportul dintre lățime și înălțime este mai mic decât 12\frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie xx abscisa vârfului din stânga-jos pe parabolă: (x,x2)(x, x^2). Atunci vârful din dreapta-jos: (−x,x2)(-x, x^2) datorită simetriei? Nu, dreptunghiul are laturi paralele cu axele: lățimea = 2x2x (distanța între xx și −x-x dacă centrat), înălțimea = 4−x24 - x^2. Aria: A(x)=2x⋅(4−x2)=8x−2x3A(x) = 2x \cdot (4 - x^2) = 8x - 2x^3, pentru x∈[0,2]x \in [0,2] (căci x2≤4x^2 \leq 4)
23 puncte
A′(x)=8−6x2=0⇒x=23A'(x) = 8 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{3}}. A′′(x)=−12x<0A''(x) = -12x < 0 pentru x>0x>0, deci maxim. Dreptunghiul: lățime 43\frac{4}{\sqrt{3}}, înălțime 4−43=834 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}, aria maximă Amax=3233A_{max} = \frac{32}{3\sqrt{3}}
33 puncte
Raportul lățime/înălțime: R(x)=2x4−x2R(x) = \frac{2x}{4 - x^2}. R′(x)=2(4−x2)−2x(−2x)(4−x2)2=8−2x2+4x2(4−x2)2=8+2x2(4−x2)2>0R'(x) = \frac{2(4 - x^2) - 2x(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{8 - 2x^2 + 4x^2}{(4 - x^2)^2} = \frac{8 + 2x^2}{(4 - x^2)^2} > 0, deci RR crescătoare.
42 puncte
Maximul lui RR pe [0,2)[0,2) este lim⁡x→2−R(x)=40+=∞\lim_{x \to 2^-} R(x) = \frac{4}{0^+} = \infty, dar pentru xx valid (x2<4x^2 < 4), R(x)R(x) poate fi oricât de mare. Enunțul spune "mai mic decât 1/21/2", ceea ce nu este adevărat pentru toate. Se corectează: demonstrați că raportul este mai mic decât 11 sau se modifică condiția. De exemplu, pentru x∈[0,2]x \in [0, \sqrt{2}], R(x)≤R(2)=222=2>1/2R(x) \leq R(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 1/2. Problema poate fi redefinită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.