GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Derivata funcției compuse: f′(x)=1arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x))⋅11+(1+esin⁡(ln⁡x))2⋅121+esin⁡(ln⁡x)⋅esin⁡(ln⁡x)⋅cos⁡(ln⁡x)⋅1xf'(x) = \frac{1}{\arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right)} \cdot \frac{1}{1 + \left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}}} \cdot e^{\sin(\ln x)} \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}
22 puncte
Simplificare: f′(x)=esin⁡(ln⁡x)cos⁡(ln⁡x)2x1+esin⁡(ln⁡x)(2+esin⁡(ln⁡x))arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x))f'(x) = \frac{e^{\sin(\ln x)} \cos(\ln x)}{2x \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \left( 2 + e^{\sin(\ln x)} \right) \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right)}
32 puncte
Punctele critice: f′(x)=0⇔cos⁡(ln⁡x)=0⇒ln⁡x=π2+kπ,k∈Zf'(x)=0 \Leftrightarrow \cos(\ln x)=0 \Rightarrow \ln x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}. Pe (1,e2π)(1, e^{2\pi}): x1=eπ/2x_1 = e^{\pi/2}, x2=e3π/2x_2 = e^{3\pi/2}
42 puncte
Studiul semnului lui f′f': cos⁡(ln⁡x)\cos(\ln x) schimbă semnul la x1x_1 și x2x_2, iar ceilalți factori sunt pozitivi. Deci f′f' are semne alterne pe intervalele (1,x1)(1, x_1), (x1,x2)(x_1, x_2), (x2,e2π)(x_2, e^{2\pi})
52 puncte
Concluzie: Ecuația f′(x)=0f'(x)=0 are exact două soluții (rădăcini simple) în (1,e2π)(1, e^{2\pi}), anume x1x_1 și x2x_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#2Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#3Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Greu#4Derivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+df(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,c,da, b, c, d astfel încât x=1x=1 să fie punct de extrem local și x=2x=2 să fie punct de inflexiune. b) Pentru a=−6a= -6, b=13b= 13, c=−12c= -12, d=4d= 4, studiați monotonia și convexitatea lui ff. c) Demonstrați că în acest caz, ff are exact două puncte critice.
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.