GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții Rolle: ff continuă și derivabilă pe [0,2][0, 2] (polinom), și f(0)=f(2)f(0)=f(2). f(0)=bf(0)=b, f(2)=8−12+2a+b=2a+b−4f(2)=8 - 12 + 2a + b = 2a + b - 4. Rezultă b=2a+b−4⇒a=2b = 2a + b - 4 \Rightarrow a=2. Alegem b=0b=0 pentru simplitate, deci f(x)=x3−3x2+2xf(x)=x^3 - 3x^2 + 2x
22 puncte
Teorema lui Rolle: Există c1∈(0,2)c_1 \in (0, 2) cu f′(c1)=0f'(c_1)=0. f′(x)=3x2−6x+2f'(x)=3x^2 - 6x + 2, rădăcini x=1±13x=1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, ambele în (0,2)(0, 2)
32 puncte
Aplicăm teorema lui Rolle pentru f′f' pe [1−13,1+13]⊂(0,2)[1-\frac{1}{\sqrt{3}}, 1+\frac{1}{\sqrt{3}}] \subset (0, 2): f′f' derivabilă și f′(1−13)=f′(1+13)=0f'(1-\frac{1}{\sqrt{3}})=f'(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=0, deci există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c)=0
42 puncte
f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6, deci c=1c=1 este punctul unde f′′(c)=0f''(c)=0
52 puncte
f(x)=x(x−1)(x−2)f(x)=x(x-1)(x-2). Pe [0,2][0, 2], ∣f(x)∣≤max⁡[0,2]∣x(x−1)(x−2)∣|f(x)| \leq \max_{[0, 2]} |x(x-1)(x-2)|. Studiind funcția g(x)=∣x(x−1)(x−2)∣g(x)=|x(x-1)(x-2)|, maximul este 233≈0.385<4\frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.385 < 4, deci inegalitatea este verificată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#3Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Greu#4Derivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+df(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,c,da, b, c, d astfel încât x=1x=1 să fie punct de extrem local și x=2x=2 să fie punct de inflexiune. b) Pentru a=−6a= -6, b=13b= 13, c=−12c= -12, d=4d= 4, studiați monotonia și convexitatea lui ff. c) Demonstrați că în acest caz, ff are exact două puncte critice.
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.