GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x}, g(0)=0g(0)=0. g′(x)=11+x−4(2+x)2=(2+x)2−4(1+x)(1+x)(2+x)2=x2(1+x)(2+x)2>0g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2} = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0 pentru x>0x>0
22 puncte
gg strict crescătoare pe [0,∞)[0, \infty) și g(0)=0g(0)=0, deci g(x)>0g(x) > 0 pentru x>0x>0, adică ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}
32 puncte
Generalizare: Fie h(x)=ln⁡(1+x)−kxk+xh(x) = \ln(1+x) - \frac{kx}{k+x}, h(0)=0h(0)=0. h′(x)=11+x−k2(k+x)2=(k+x)2−k2(1+x)(1+x)(k+x)2=x(2k−k2+x)(1+x)(k+x)2h'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{k^2}{(k+x)^2} = \frac{(k+x)^2 - k^2(1+x)}{(1+x)(k+x)^2} = \frac{x(2k - k^2 + x)}{(1+x)(k+x)^2}
42 puncte
Pentru x>0x>0, semnul lui h′h' depinde de 2k−k22k - k^2. Dacă 2k−k2≥02k - k^2 \geq 0 (i.e., 0<k≤20 < k \leq 2), atunci h′(x)>0h'(x) > 0 pentru x>0x>0, deci h(x)>0h(x) > 0
52 puncte
Dacă k>2k > 2, atunci pentru xx mic pozitiv, 2k−k2+x<02k - k^2 + x < 0, deci h′(x)<0h'(x) < 0, iar h(x)<0h(x) < 0 pentru xx mic. Inegalitatea nu mai este valabilă pentru orice x>0x>0. Concluzie: k∈(0,2]k \in (0, 2].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Greu#4Derivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+df(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,c,da, b, c, d astfel încât x=1x=1 să fie punct de extrem local și x=2x=2 să fie punct de inflexiune. b) Pentru a=−6a= -6, b=13b= 13, c=−12c= -12, d=4d= 4, studiați monotonia și convexitatea lui ff. c) Demonstrați că în acest caz, ff are exact două puncte critice.
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.