GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Derivarea parametrică: dydx=y′(t)x′(t)=3t2−32t\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{3t^2 - 3}{2t}. Pentru t=2t=2: punctul (3,2)(3, 2), panta m=94m = \frac{9}{4}. Ecuația tangentei: y−2=94(x−3)y - 2 = \frac{9}{4}(x - 3)
22 puncte
Tangenta paralelă cu y=3x+1y=3x+1 are panta 33. Rezolvăm 3t2−32t=3⇒3t2−3=6t⇒t2−2t−1=0⇒t=1±2\frac{3t^2 - 3}{2t} = 3 \Rightarrow 3t^2 - 3 = 6t \Rightarrow t^2 - 2t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \pm \sqrt{2}. Punctele: (2−22,−2−22)(2-2\sqrt{2}, -2-2\sqrt{2}) și (2+22,−2+22)(2+2\sqrt{2}, -2+2\sqrt{2})
32 puncte
Tangenta prin A(0,−4)A(0, -4): ecuația tangentei la Γ\Gamma în tt: y−(t3−3t)=3t2−32t(x−(t2−1))y - (t^3-3t) = \frac{3t^2-3}{2t}(x - (t^2-1)). Impunem AA pe tangentă: −4−(t3−3t)=3t2−32t(0−(t2−1))-4 - (t^3-3t) = \frac{3t^2-3}{2t}(0 - (t^2-1))
42 puncte
Simplificare: −4−t3+3t=3t2−32t(−t2+1)=3(t2−1)2t(1−t2)=−3(t2−1)22t-4 - t^3 + 3t = \frac{3t^2-3}{2t}(-t^2+1) = \frac{3(t^2-1)}{2t}(1-t^2) = -\frac{3(t^2-1)^2}{2t}. Înmulțim cu 2t2t: −8t−2t4+6t2=−3(t2−1)2-8t - 2t^4 + 6t^2 = -3(t^2-1)^2
52 puncte
Ecuația devine: 2t4−6t2+8t=3(t4−2t2+1)⇒−t4+8t−3=0⇒t4−8t+3=02t^4 - 6t^2 + 8t = 3(t^4 - 2t^2 + 1) \Rightarrow -t^4 + 8t - 3 = 0 \Rightarrow t^4 - 8t + 3 = 0. Studiem funcția h(t)=t4−8t+3h(t)=t^4-8t+3: h′(t)=4t3−8h'(t)=4t^3-8, rădăcini reale t=23t=\sqrt[3]{2}. hh are minim local la t=23t=\sqrt[3]{2}, iar h(23)<0h(\sqrt[3]{2}) < 0, lim⁡t→±∞h(t)=∞\lim_{t \to \pm\infty} h(t) = \infty, deci ecuația are exact două rădăcini reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+df(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,c,da, b, c, d astfel încât x=1x=1 să fie punct de extrem local și x=2x=2 să fie punct de inflexiune. b) Pentru a=−6a= -6, b=13b= 13, c=−12c= -12, d=4d= 4, studiați monotonia și convexitatea lui ff. c) Demonstrați că în acest caz, ff are exact două puncte critice.
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.