GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se împarte ecuația la (3)2+12=2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2: 32sin⁡x+12cos⁡x=22\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
22 puncte
Se recunoaște cos⁡π6=32\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, deci ecuația devine sin⁡(x+π6)=22\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
32 puncte
Soluții generale: x+π6=π4+2kπx + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi sau x+π6=3π4+2kπx + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}
42 puncte
Pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi]: x=π12x = \frac{\pi}{12} (din prima) și x=7π12x = \frac{7\pi}{12} (din a doua)
52 puncte
Condiția tan⁡x>0\tan x > 0: tan⁡π12>0\tan \frac{\pi}{12} > 0 și tan⁡7π12=tan⁡(π−5π12)=−tan⁡5π12<0\tan \frac{7\pi}{12} = \tan(\pi - \frac{5\pi}{12}) = -\tan \frac{5\pi}{12} < 0, deci singura soluție este x=π12x = \frac{\pi}{12}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0, folosind transformarea sumei în produs.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.