GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și A∈(0,π)A \in (0, \pi), avem cos⁡A=±45\cos A = \pm \frac{4}{5}, dar sin⁡A>0\sin A > 0 și cos⁡B>0\cos B > 0 sugerează unghiuri ascuțite, deci cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}
22 puncte
Din cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}, sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13} (B ascuțit)
32 puncte
cos⁡C=cos⁡(π−(A+B))=−cos⁡(A+B)=−(cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B)=−(45⋅513−35⋅1213)=1665\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B) = - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = - (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13}) = \frac{16}{65}
42 puncte
Legea sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B⇒b=asin⁡Bsin⁡A=10⋅121335=20013\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \frac{12}{13}}{\frac{3}{5}} = \frac{200}{13}
52 puncte
Aria S=12absin⁡C=12⋅10⋅20013⋅1−cos⁡2C=100013⋅6365=63000845=12600169S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{200}{13} \cdot \sqrt{1 - \cos^2 C} = \frac{1000}{13} \cdot \frac{63}{65} = \frac{63000}{845} = \frac{12600}{169}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0, folosind transformarea sumei în produs.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.