GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se exprimă sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=1−12sin⁡22x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x
22 puncte
Se obține ecuația 1−12sin⁡22x=a⇒sin⁡22x=2(1−a)1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = a \Rightarrow \sin^2 2x = 2(1-a)
32 puncte
Condiția 0≤sin⁡22x≤10 \leq \sin^2 2x \leq 1 dă 0≤2(1−a)≤1⇒12≤a≤10 \leq 2(1-a) \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a \leq 1
42 puncte
Pentru a=1a = 1: sin⁡22x=0⇒2x=kπ⇒x=kπ2\sin^2 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}, 4 soluții în [0,2π][0, 2\pi]
51 punct
Pentru a=12a = \frac{1}{2}: sin⁡22x=1⇒2x=π2+kπ⇒x=π4+kπ2\sin^2 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, 4 soluții
61 punct
Pentru a∈(12,1)a \in (\frac{1}{2}, 1): sin⁡22x∈(0,1)⇒sin⁡2x=±2(1−a)\sin^2 2x \in (0,1) \Rightarrow \sin 2x = \pm \sqrt{2(1-a)}, fiecare dă 4 soluții, total 8 soluții

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#2Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#3Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0, folosind transformarea sumei în produs.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.