GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb știind că ff verifică teorema lui Rolle pe [0,2][0,2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0,2) astfel încât f′(c)=f(2)−f(0)2−0+1f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2-0} + 1. c) Demonstrați inegalitatea ∫02f(x)dx≥−4\int_0^2 f(x) dx \geq -4 folosind o funcție auxiliară și proprietăți de monotonie.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Condiții Rolle: f(0)=f(2)⇒b=8−12+2a+b⇒2a=4⇒a=2f(0)=f(2) \Rightarrow b = 8 - 12 + 2a + b \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a=2. Atunci f(x)=x3−3x2+2x+bf(x)=x^3-3x^2+2x+b
22 puncte
f′(x)=3x2−6x+2f'(x)=3x^2-6x+2. Ecuația din b): 3c2−6c+2=f(2)−f(0)2+1=1⇒3c2−6c+1=03c^2-6c+2 = \frac{f(2)-f(0)}{2} + 1 = 1 \Rightarrow 3c^2-6c+1=0. Discriminant pozitiv, rădăcini în (0,2)(0,2)
32 puncte
∫02f(x)dx=[x44−x3+x2+bx]02=4−8+4+2b=2b\int_0^2 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + bx \right]_0^2 = 4 - 8 + 4 + 2b = 2b
42 puncte
Funcția auxiliară h(x)=f(x)+2h(x)=f(x)+2. h′(x)=f′(x)h'(x)=f'(x), iar h(0)=b+2h(0)=b+2, h(2)=b+2h(2)=b+2. Din Rolle, hh constantă? Nu, dar se studiază semnul.
52 puncte
Minimul lui ff pe [0,2][0,2] este atins în puncte critice sau capete. Se calculează f(0)=bf(0)=b, f(2)=bf(2)=b, f(xcritic)f(x_{critic}). Se arată că integrala este minimă pentru anumit bb, obținând ∫02f(x)dx≥−4\int_0^2 f(x) dx \geq -4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.