GreuMatriciClasa 9

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Se consideră matricea A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. a) Calculați A2−5A−2I2A^2 - 5A - 2I_2. b) Demonstrați că An=αnA+βnI2A^n = \alpha_n A + \beta_n I_2 pentru orice n≥1n \geq 1, unde αn,βn\alpha_n, \beta_n sunt numere reale. c) Determinați o relație de recurență pentru αn\alpha_n și βn\beta_n. d) Calculați det⁡(A10)\det(A^{10}).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) A2=(7101522)A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}, A2−5A−2I2=(7−5−210−1015−1522−20−2)=O2A^2 - 5A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 7-5-2 & 10-10 \\ 15-15 & 22-20-2 \end{pmatrix} = O_2, deci A2=5A+2I2A^2 = 5A + 2I_2
22 puncte
b) Prin inducție: pentru n=1n=1, A=1⋅A+0⋅I2A = 1 \cdot A + 0 \cdot I_2. Presupunem Ak=αkA+βkI2A^k = \alpha_k A + \beta_k I_2, atunci Ak+1=A⋅Ak=A(αkA+βkI2)=αkA2+βkA=αk(5A+2I2)+βkA=(5αk+βk)A+2αkI2A^{k+1} = A \cdot A^k = A(\alpha_k A + \beta_k I_2) = \alpha_k A^2 + \beta_k A = \alpha_k(5A+2I_2) + \beta_k A = (5\alpha_k + \beta_k)A + 2\alpha_k I_2
32 puncte
c) Din demonstrația de la b), αn+1=5αn+βn\alpha_{n+1} = 5\alpha_n + \beta_n și βn+1=2αn\beta_{n+1} = 2\alpha_n, cu α1=1\alpha_1=1, β1=0\beta_1=0
42 puncte
d) det⁡(A10)=(det⁡A)10\det(A^{10}) = (\det A)^{10}. det⁡A=1⋅4−2⋅3=−2\det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2, deci det⁡(A10)=(−2)10=1024\det(A^{10}) = (-2)^{10} = 1024
52 puncte
Calcul explicit: din recurență, se poate găsi α10\alpha_{10} și β10\beta_{10}, dar pentru determinant este mai simplu ca mai sus

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.